A^x = e^(xlna)
Dimostrare che:
$ a^x = e^(xlna) $
Quindi
$ a^x=e^(ln(a^x)) $
Ora teoricamente la e ad il logaritmo naturale si dovrebbero semplificare ma perché???
$ a^x = e^(xlna) $
Quindi
$ a^x=e^(ln(a^x)) $
Ora teoricamente la e ad il logaritmo naturale si dovrebbero semplificare ma perché???
Risposte
Non si semplifica proprio niente. Ricordati le proprietà dei logaritmi
detta proprio in maniera semplice
$lna^x$ è l'esponente che "messo" su $e$ dà $a^x$
$lna^x$ è l'esponente che "messo" su $e$ dà $a^x$
"porzio":
detta proprio in maniera semplice
$lna^x$ è l'esponente che "messo" su $e$ dà $a^x$
Si qui ci stavo, ma poi viene fuori:
$ e^(e^x)= a^x $
niente affatto
viene proprio $e^(lna^x)=a^x$
l'esponente da mettere su $e$ è $lna^x$
viene proprio $e^(lna^x)=a^x$
l'esponente da mettere su $e$ è $lna^x$
$ e^(lna^x)=a^x $
OK saró pure cocciuto ma io non riesco a dimostrare perché
a^x=e^((e^x)=(a^x))
"porzio":
niente affatto
viene proprio $e^(lna^x)=a^x$
l'esponente da mettere su $e$ è $lna^x$
OK saró pure cocciuto ma io non riesco a dimostrare perché
a^x=e^((e^x)=(a^x))
Ma che casino
Non è più facile osservare che $log(a^x)=xlog a$? Questa è una proprietà dei logaritmi. Perciò
\[
a^x=e^{\log(a^x)}=e^{x\log a}.\]
Fine
Non è più facile osservare che $log(a^x)=xlog a$? Questa è una proprietà dei logaritmi. Perciò
\[
a^x=e^{\log(a^x)}=e^{x\log a}.\]
Fine
"dissonance":
Ma che casino
Non è più facile osservare che $log(a^x)=xlog a$? Questa è una proprietà dei logaritmi. Perciò
\[
a^x=e^{\log(a^x)}=e^{x\log a}.\]
Fine
Scusate, mi spiego meglio.
Non mi è chiaro la proprietà dell'esponenziale ovvero scrive a^x come esponente logaritmico del numero di nepero.
Se per esempio x = 2
allora viene
a^2 = e^log(a^2)
che a sua volta è uguale a
a^2 = e^((e^x)=(a^2))
Che non sembra essere un'uguaglianza
Non riesco a seguire il tuo ragionamento e ti scrivo quello abituale.
Partiamo da $a=e^(lna)$ che è la proprietà fondamentale e deriva direttamente dalla definizione di logaritmo; spero che almeno questo ti sia chiaro. Eleviamo al quadrato:
$a^2=(e^(lna))^2$
A secondo membro abbiamo una potenza di potenza e sai che in questi casi si moltiplicano fra loro gli esponenti; otteniamo
$a^2=e^(2lna)$
Ti faccio presente che una potenza con l'uguale ad esponente non ha alcun senso: è come scrivere $5^(x=2)$
Partiamo da $a=e^(lna)$ che è la proprietà fondamentale e deriva direttamente dalla definizione di logaritmo; spero che almeno questo ti sia chiaro. Eleviamo al quadrato:
$a^2=(e^(lna))^2$
A secondo membro abbiamo una potenza di potenza e sai che in questi casi si moltiplicano fra loro gli esponenti; otteniamo
$a^2=e^(2lna)$
Ti faccio presente che una potenza con l'uguale ad esponente non ha alcun senso: è come scrivere $5^(x=2)$
"giammaria":
Non riesco a seguire il tuo ragionamento e ti scrivo quello abituale.
Partiamo da $a=e^(lna)$ che è la proprietà fondamentale e deriva direttamente dalla definizione di logaritmo; spero che almeno questo ti sia chiaro.
Purtroppo è questo quello che non mi è chiaro, il logaritmo è l'esponente da dare alla base per ottenere l'argomento, quindi lna = e^x = a e quindi bisognerebbe trovare quel valore di x che ci restituisce a... quella proprietà non mi è chiara, l'ho sempre imparata a "regola" senza capire da dove venisse.
Proviamo di nuovo.
La definizione di logaritmo dice che $log_a b=c => a^c =b$ con le condizioni che sappiamo su $a$ e $b$.
Ma se $a^c=b$ con $c=log_a b$ allora possiamo scrivere che $a^c=a^(log_a b)=b$, in pratica abbiamo ottenuto che qualunque numero positivo $x$ può essere scritto come una potenza, mettendo una base $y$ e ad esponente il logaritmo in base $y$ del numero stesso $x$. Il tutto diventa $x=y^(log_y x)$.
La definizione di logaritmo dice che $log_a b=c => a^c =b$ con le condizioni che sappiamo su $a$ e $b$.
Ma se $a^c=b$ con $c=log_a b$ allora possiamo scrivere che $a^c=a^(log_a b)=b$, in pratica abbiamo ottenuto che qualunque numero positivo $x$ può essere scritto come una potenza, mettendo una base $y$ e ad esponente il logaritmo in base $y$ del numero stesso $x$. Il tutto diventa $x=y^(log_y x)$.
Piccola parentesi, purtroppo vado di fretta: non occorre arrossire ( ), queste proprietà di esponenziale e logaritmo sono cose profonde e se uno ci ragiona su si accorge che dietro c'è molta matematica.
), queste proprietà di esponenziale e logaritmo sono cose profonde e se uno ci ragiona su si accorge che dietro c'è molta matematica.
E' una regola che risulta ostica a molti studenti; provo a dartene varie spiegazioni e forse almeno una ti sarà chiara.
1) Per definizione, $log_ba$ è il numero a cui debbo elevare $b$ per ottenere $a$, quindi se elevo $b$ proprio a quel numero ottengo $a$. Scritto in formula: $b^(log_ba)=a$
2) La formula $a=b^x$ equivale a $x=log_ba$. Prendiamo la seconda formula e sostituiamo nella prima il valore di $x$; otteniamo $a=b^(log_ba)$
3) Partiamo da $a=b^(log_ba)$ e prendiamo i logaritmi in base $b$ dei due membri: otteniamo $log_ba=log_b(b^(log_ba))$ e, per definizione di logaritmo, il secondo membro vale $log_ba$, dimostrando così l'eguaglianza iniziale.
4) L'operazione di prendere il logaritmo è l'inversa dell'elevazione a potenza, esattamente come dimezzare è l'inverso di raddoppiare, quindi le due operazioni si annullano a vicenda. Scrivi che $1/2(2x)=2*(1/2x)=x$ e nello stesso modo scrivi $log_b b^a=b^(log_ba)=a$
1) Per definizione, $log_ba$ è il numero a cui debbo elevare $b$ per ottenere $a$, quindi se elevo $b$ proprio a quel numero ottengo $a$. Scritto in formula: $b^(log_ba)=a$
2) La formula $a=b^x$ equivale a $x=log_ba$. Prendiamo la seconda formula e sostituiamo nella prima il valore di $x$; otteniamo $a=b^(log_ba)$
3) Partiamo da $a=b^(log_ba)$ e prendiamo i logaritmi in base $b$ dei due membri: otteniamo $log_ba=log_b(b^(log_ba))$ e, per definizione di logaritmo, il secondo membro vale $log_ba$, dimostrando così l'eguaglianza iniziale.
4) L'operazione di prendere il logaritmo è l'inversa dell'elevazione a potenza, esattamente come dimezzare è l'inverso di raddoppiare, quindi le due operazioni si annullano a vicenda. Scrivi che $1/2(2x)=2*(1/2x)=x$ e nello stesso modo scrivi $log_b b^a=b^(log_ba)=a$
Ciao, scusate la risposta in ritardo ma si alla fine ho capito grazie ai diversi esempi da voi riportati, grazie. 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo