Assurdità sull'integrale improprio
Ho assistito stamattina alla spiegazione dell'integrale improprio e ho riscontrato quella che a me sembra proprio un'assurdita, proprio non riesco a spiegarmela.
Usando come esempio la funzione y = 1/x² mi è stato dimostrato come l'integrale con estremi 0 e 1 abbia valore infinito, mentre l'integrale con estremi 1 e +∞ abbia valore 1.
Ora, perchè quando la x -> 0, con la y che tende a +∞ e non la curva che non "tocca" mai l'asse delle ordinate l'area sotto la curva ha valore infinito, mentre facendo un discorso analogo ovvero per x -> +∞ e quindi con la curva che si avvicina all'asse delle ascisse anche questa volta senza mai "toccarlo" , l'area sotto la curva ha un valore finito ??
Usando come esempio la funzione y = 1/x² mi è stato dimostrato come l'integrale con estremi 0 e 1 abbia valore infinito, mentre l'integrale con estremi 1 e +∞ abbia valore 1.
Ora, perchè quando la x -> 0, con la y che tende a +∞ e non la curva che non "tocca" mai l'asse delle ordinate l'area sotto la curva ha valore infinito, mentre facendo un discorso analogo ovvero per x -> +∞ e quindi con la curva che si avvicina all'asse delle ascisse anche questa volta senza mai "toccarlo" , l'area sotto la curva ha un valore finito ??
Risposte
La funzione $y=1/x^2$ si avvicina ai due asintoti con velocità differenti..
Si ma comunque non interseca nè quello delle ascisse nè quello delle ordinate, perchè in un caso abbiamo un'area finita e nell'altro un'area infinita?
Hai provato a fare il grafico della funzione tramite un programma, in modo da averlo preciso?
La differenza delle aree si vede.. Un spiegazione scientifica precisa sinceramente non so dartela..
La differenza delle aree si vede.. Un spiegazione scientifica precisa sinceramente non so dartela..
Si certo hai ragione per la forma della curva, ma proprio mi manca il passaggio logico per cui in due problemi ( calcolare l'area sotto la curva etc) che sembrano identici si hanno due soluzioni differenti, sinceramente è la prima volta che la matematica mi lascia così .. 
Beh ma il problema dell'infinito non è un problema da poco..
Però se ci pensiamo un attimo: un'integrale finito è l'area che si trova al di sotto della curva.
Nell'integrale tra 0 e 1 è come se c'è una parte in cui la funzione non riesce a limitare l'area..
Siccome non tocca l'asse delle y ma vi tende asintoticamente, non hai la curva da cui calcolare l'area ma parti da infinito.. (Ho parlato come un libro stracciato ma spero di averti fatto capire la mia idea..)
Nel secondo integrale.. Per quanto anche qui la funzione tende asintoticamente all'asse, ma più tende all'asse e più l'area diminuisce.. Giusto? Quindi il valore sarà di certo un valore finito!
Però se ci pensiamo un attimo: un'integrale finito è l'area che si trova al di sotto della curva.
Nell'integrale tra 0 e 1 è come se c'è una parte in cui la funzione non riesce a limitare l'area..
Siccome non tocca l'asse delle y ma vi tende asintoticamente, non hai la curva da cui calcolare l'area ma parti da infinito.. (Ho parlato come un libro stracciato ma spero di averti fatto capire la mia idea..)
Nel secondo integrale.. Per quanto anche qui la funzione tende asintoticamente all'asse, ma più tende all'asse e più l'area diminuisce.. Giusto? Quindi il valore sarà di certo un valore finito!
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