Assiomi della Geometria dal testo di Matematicamente
Non so se sono nella sezione giusta.
Quote dal vostro libro [assiomi di hilber "II. Ogni retta contiene almeno due punti. Esistono almeno tre punti che non giacciono sulla stessa retta" non capisco che centri il "esistono almeno tre punti che non giacciono sulla stessa retta" che poi in figura si vede una retta i 3 punti di cui solo uno non giacente sulla retta , sto sbagliando qualcosa io o è un errore di battitura?
E anche il "VI. Esistono almeno quattro punti che non giacciono sullo stesso piano" non capisco che significa esistono anche 5 punti che non giacciono sullo stesso piano
Quote dal vostro libro [assiomi di hilber "II. Ogni retta contiene almeno due punti. Esistono almeno tre punti che non giacciono sulla stessa retta" non capisco che centri il "esistono almeno tre punti che non giacciono sulla stessa retta" che poi in figura si vede una retta i 3 punti di cui solo uno non giacente sulla retta , sto sbagliando qualcosa io o è un errore di battitura?
E anche il "VI. Esistono almeno quattro punti che non giacciono sullo stesso piano" non capisco che significa esistono anche 5 punti che non giacciono sullo stesso piano
Risposte
Semplicemente non capisci l'italiano.
Rileggi più attentamente.
Rileggi più attentamente.
Devi fare molta attenzione alle parole esistono e almeno
"@melia":sono proprio quelle che mi creano confusione , perchè devono essere almeno quattro i punti fuori dal piano ? può essere anche uno solo .
Devi fare molta attenzione alle parole esistono e almeno
"a42bbbb":
sono proprio quelle che mi creano confusione , perchè devono essere almeno quattro i punti fuori dal piano ? può essere anche uno solo .
E solo il modo sintetico (a-la Kant) per dire "Dati tre punti esiste sempre un piano che li contiene tutti. Dati 4+ punti, non è detto che stiano tutti sul medesimo piano...anzi, ci sono infinite quaterne di punti che non condividono il medesimo piano"
Ciao a42bbbb (e ciao a tutti del Forum).
Posso provare a darti un mio pensiero su questo.
1) Ogni retta contiene almeno due punti.
Almeno, in questo caso, ci vuol indicare che
- devi avere come minimo due punti per individuare una retta.
- la retta può contenere anche 3, 4, 5 o più punti.
Dal primo punto che ho scritto segue che se abbiamo un solo punto a disposizione non possiamo individuare una retta.
2) Esistono almeno tre punti che non giacciono sulla stessa retta.
Anche in questo caso, almeno ci vuole dire che come minimo devi avere tre punti affinchè uno di essi
possa non trovarsi sulla stessa retta. Che succede se hai solo due punti? Riusciresti ad escludere che possano appartenere ad una stessa retta?
3) Esistono almeno quattro punti che non giacciono sullo stesso piano.
Secondo te, cosa ci vuole indicare l'assioma? Prova a prendere un foglio di carta.
Riesci, con soli 3 punti, a NON trovare una posizione del foglio che li contenga tutti?
Se ho scritto cose inesatte fatemelo sapere che correggo.
Posso provare a darti un mio pensiero su questo.
1) Ogni retta contiene almeno due punti.
Almeno, in questo caso, ci vuol indicare che
- devi avere come minimo due punti per individuare una retta.
- la retta può contenere anche 3, 4, 5 o più punti.
Dal primo punto che ho scritto segue che se abbiamo un solo punto a disposizione non possiamo individuare una retta.
2) Esistono almeno tre punti che non giacciono sulla stessa retta.
Anche in questo caso, almeno ci vuole dire che come minimo devi avere tre punti affinchè uno di essi
possa non trovarsi sulla stessa retta. Che succede se hai solo due punti? Riusciresti ad escludere che possano appartenere ad una stessa retta?
3) Esistono almeno quattro punti che non giacciono sullo stesso piano.
Secondo te, cosa ci vuole indicare l'assioma? Prova a prendere un foglio di carta.
Riesci, con soli 3 punti, a NON trovare una posizione del foglio che li contenga tutti?
Se ho scritto cose inesatte fatemelo sapere che correggo.
"DavidGnomo":
Se ho scritto cose inessatte fatemelo sapere che correggo.
Questa sicuramente
[ot]Ahhhhhhhahah. Vero......urgh.[/ot]
"DavidGnomo":
Ciao a42bbbb (e ciao a tutti del Forum).
Posso provare a darti un mio pensiero su questo.
1) Ogni retta contiene almeno due punti.
Almeno, in questo caso, ci vuol indicare che
- devi avere come minimo due punti per individuare una retta.
- la retta può contenere anche 3, 4, 5 o più punti.
Dal primo punto che ho scritto segue che se abbiamo un solo punto a disposizione non possiamo individuare una retta.
2) Esistono almeno tre punti che non giacciono sulla stessa retta.
Anche in questo caso, almeno ci vuole dire che come minimo devi avere tre punti affinchè uno di essi
possa non trovarsi sulla stessa retta. Che succede se hai solo due punti? Riusciresti ad escludere che possano appartenere ad una stessa retta?
3) Esistono almeno quattro punti che non giacciono sullo stesso piano.
Secondo te, cosa ci vuole indicare l'assioma? Prova a prendere un foglio di carta.
Riesci, con soli 3 punti, a NON trovare una posizione del foglio che li contenga tutti?
Se ho scritto cose inesatte fatemelo sapere che correggo.
ma appunto se prendo 4 punti 3 sono contenuti in un piano per forza e 1 e fuori quindi diventa "esiste almeno un punto che non appartiene al piano" e lo stesso per la retta "esiste almeno un punto che non appartiene alla retta" presi 3 punti 2 formano la retta e uno non ci appartiene poi che posso fare 3 rette diverse dove ognuna esclude almeno un punto allora diventano almeno 3 punti che non giacciono sulle RETTE . Poi non capisco il "cosa ci vuole indicare l'assioma" l'assioma è una cosa ovvia che non si dimostra quindi se io disegno un retta e metto un punto fuori dalla retta ho fatto vedere l'ovvio cioè che esistono meno di 3 punti fuori dalla retta quindi "ALMENO tre" è sbagliato. Io sto andando avanti con lo studio quindi se per favore posso avere qualcuno che mi chiarisce questa cosa ne sarei molto contento , grazie.
a42bbbb, ti rendi conto che quel che scrivi non ha alcun significato?
È proprio l’uso della lingua che è del tutto sconclusionato.
È proprio l’uso della lingua che è del tutto sconclusionato.
"gugo82":
a42bbbb, ti rendi conto che quel che scrivi non ha alcun significato?
È proprio l’uso della lingua che è del tutto sconclusionato.
Ok quindi io sto sbagliando e presa una retta il numero minimo di punti che non giacciono su di essa è tre ?
Quindi se prendo un foglio disegno una retta e un solo punto fuori ad essa ho rotto il giochino giusto?
No, ovviamente.
E continui a non capire ciò che viene scritto, perché leggi superficialmente e male.
Non ho scritto da nessuna parte che “stai sbagliando”, ma che scrivi talmente male che è impossibile comprendere cosa tu voglia dire e, perciò, giudicare.
Un consiglio. Prima di cominciare a leggere e scrivere di Geometria, cerca di far pace con la lingua italiana: cura di più il modo in cui scrivi, metti più attenzione quando leggi.
Se non riesci ad articolare in maniera sensata i tuoi pensieri o a comprendere quelli degli altri, la Matematica e la Geometria non riusciranno ad apparirti chiare come effettivamente sono.
E continui a non capire ciò che viene scritto, perché leggi superficialmente e male.
Non ho scritto da nessuna parte che “stai sbagliando”, ma che scrivi talmente male che è impossibile comprendere cosa tu voglia dire e, perciò, giudicare.
Un consiglio. Prima di cominciare a leggere e scrivere di Geometria, cerca di far pace con la lingua italiana: cura di più il modo in cui scrivi, metti più attenzione quando leggi.
Se non riesci ad articolare in maniera sensata i tuoi pensieri o a comprendere quelli degli altri, la Matematica e la Geometria non riusciranno ad apparirti chiare come effettivamente sono.
dove sto sbagliando a leggere "esistono almeno tre punti che non giacciono sulla stessa retta" . Rispondi qualcosa questa volta non girarmi che sono io a non capire dimmi DOVE non sto capendo, o spiegami perchè è falso dire "esiste almeno un punto che non giace sulla stessa retta"
"a42bbbb":
dove sto sbagliando a leggere "esistono almeno tre punti che non giacciono sulla stessa retta" .
Secondo te, cosa significa la frase che hai citato?
"a42bbbb":
Rispondi qualcosa questa volta non girarmi che sono io a non capire dimmi DOVE non sto capendo […]
“Per favore” non usa più?
"a42bbbb":
[…] o spiegami perchè è falso dire "esiste almeno un punto che non giace sulla stessa retta"
La frase virgolettata non ha alcun senso.
"gugo82":
[quote="a42bbbb"]dove sto sbagliando a leggere "esistono almeno tre punti che non giacciono sulla stessa retta" .
Secondo te cosa significa la frase che hai citato?[/quote]
che presa un retta esistono almeno tre punti che non appartengono ad essa , quindi che il numero minimo di punti non appratenti alla retta è tre.
"gugo82":
[quote="a42bbbb"][…] o spiegami perchè è falso dire "esiste almeno un punto che non giace sulla stessa retta"
La frase virgolettata non ha alcun senso.[/quote]
Ok quindi il numero di punti è la cosa che da senso alla frase , ma per me l'assioma non ha senso dato che posso pensare anche ad un solo punto non appartenente alla retta
"a42bbbb":
[quote="gugo82"][quote="a42bbbb"]dove sto sbagliando a leggere "esistono almeno tre punti che non giacciono sulla stessa retta" .
Secondo te cosa significa la frase che hai citato?[/quote]
che presa un retta esistono almeno tre punti che non appartengono ad essa , quindi che il numero minimo di punti non appratenti alla retta è tre.[/quote]
No.
La frase “esistono almeno tre punti che non giacciono sulla stessa retta” significa:
“esistono almeno tre punti tali che la retta passante per due qualsiasi di essi non contiene anche il terzo punto”
ossia:
“esistono almeno tre punti tali che uno qualsiasi di essi non appartiene alla retta passante per i restanti due”.
Una riformulazione in termini di punto e retta potrebbe essere la seguente:
“esistono una retta ed almeno un punto fuori di essa”.
L’aggettivo “stessa” si riferisce, appunto, all’unica retta (vedi Assioma I) che passa per due degli almeno tre punti di cui si sta postulando l’esistenza.
Analogo discorso vale per l’Assioma VI (quello dei quattro punti). Riesci a riformularlo come ho fatto io sopra?
"a42bbbb":
[quote="gugo82"][quote="a42bbbb"][…] o spiegami perchè è falso dire "esiste almeno un punto che non giace sulla stessa retta"
La frase virgolettata non ha alcun senso.[/quote]
Ok quindi il numero di punti è la cosa che da senso alla frase , ma per me l'assioma non ha senso dato che posso pensare anche ad un solo punto non appartenente alla retta[/quote]
No.
Il problema è l’aggettivo “stessa”.
Cosa vuol dire che un punto “non giace sulla stessa retta”? La “stessa retta” di chi?
Ciao a42bbbb,
mettiamo un po' di chiarezza.
Se hai due punti distinti individui una ed una sola retta e la puoi sempre individuare, questo significa che dati due punti distinti puoi disegnare una sola retta che passa da entrambi i punti.
Ora se prendi 3 punti distinti e prendili non allineati, chiamiamoli \(A,B,C \), allora puoi disegnare una retta \(r_1\) passante per \(A\) e per \(B\) ma che non passa per \(C\), oppure puoi disegnare una retta \(r_2\) passante per \(A\) e per \(C\) ma non passante per \(B\) oppure ancora una retta \(r_3\) passante per \(B\) e per \(C\) ma non passante per \(A\). In definitiva hai bisogno almeno di 3 punti per far sì che almeno un punto dei tre non stia sulla stessa retta degli altri due. Ovviamente puoi disegnare una retta che passa solo per uno dei tre punti o ancora che non passa per nessuno!
La frase "esistono almeno tre punti che non giacciono sulla stessa retta" non vuol dire, "presa un retta esistono almeno tre punti che non appartengono ad essa , quindi che il numero minimo di punti non appratenti alla retta è tre."
Bensì la frase "esistono almeno tre punti che non giacciono sulla stessa retta" vuol dire che disegnando tutte le rette immaginabili sul piano allora non puoi trovare una retta che passi da tutti e tre i punti. In altre parole se due punti su tre appartengono ad una retta forzatamente il punto rimanente è escluso. Chiaramente è possibile trovare una retta che passa per solo due di quei tre punti. Oppure ancora è possibile trovare una retta che passa per solo un punto dei tre o ancora una retta che non passa da nessuno di quei tre. MA non è possibile trovare una retta che passa per tutti e 3 i punti contemporaneamente.
Questo è il significato di quella frase.
La frase
"esiste almeno un punto che non giace sulla stessa retta"
È errata poiché se hai un punto solo e mi dici che non giace sulla stessa retta... mi domando la stessa di cosa? Di un altro punto? Beh ma allora hai due punti distinti ma abbiamo visto che per due punti distinti esiste sempre una retta che passa per entrambi. Dunque neanche due punti vanno bene! Hai bisogno di almeno 3 punti. Chiaramente hai bisogno il quantificatore esistono, poiché è possibile trovare 3 punti allineati.
Edit: vedo che ti ha già risposto gugo82, ho iniziato a scrivere il messaggio prima della sua risposta.
mettiamo un po' di chiarezza.
Se hai due punti distinti individui una ed una sola retta e la puoi sempre individuare, questo significa che dati due punti distinti puoi disegnare una sola retta che passa da entrambi i punti.
Ora se prendi 3 punti distinti e prendili non allineati, chiamiamoli \(A,B,C \), allora puoi disegnare una retta \(r_1\) passante per \(A\) e per \(B\) ma che non passa per \(C\), oppure puoi disegnare una retta \(r_2\) passante per \(A\) e per \(C\) ma non passante per \(B\) oppure ancora una retta \(r_3\) passante per \(B\) e per \(C\) ma non passante per \(A\). In definitiva hai bisogno almeno di 3 punti per far sì che almeno un punto dei tre non stia sulla stessa retta degli altri due. Ovviamente puoi disegnare una retta che passa solo per uno dei tre punti o ancora che non passa per nessuno!
La frase "esistono almeno tre punti che non giacciono sulla stessa retta" non vuol dire, "presa un retta esistono almeno tre punti che non appartengono ad essa , quindi che il numero minimo di punti non appratenti alla retta è tre."
Bensì la frase "esistono almeno tre punti che non giacciono sulla stessa retta" vuol dire che disegnando tutte le rette immaginabili sul piano allora non puoi trovare una retta che passi da tutti e tre i punti. In altre parole se due punti su tre appartengono ad una retta forzatamente il punto rimanente è escluso. Chiaramente è possibile trovare una retta che passa per solo due di quei tre punti. Oppure ancora è possibile trovare una retta che passa per solo un punto dei tre o ancora una retta che non passa da nessuno di quei tre. MA non è possibile trovare una retta che passa per tutti e 3 i punti contemporaneamente.
Questo è il significato di quella frase.
La frase
"esiste almeno un punto che non giace sulla stessa retta"
È errata poiché se hai un punto solo e mi dici che non giace sulla stessa retta... mi domando la stessa di cosa? Di un altro punto? Beh ma allora hai due punti distinti ma abbiamo visto che per due punti distinti esiste sempre una retta che passa per entrambi. Dunque neanche due punti vanno bene! Hai bisogno di almeno 3 punti. Chiaramente hai bisogno il quantificatore esistono, poiché è possibile trovare 3 punti allineati.
Edit: vedo che ti ha già risposto gugo82, ho iniziato a scrivere il messaggio prima della sua risposta.
@a42bbbb
Credo che il tuo sia un grido di "dolore" quindi ..... scrivi di impeto.
Soffermati ad esaminare la frase dove scrivi "ma appunto se prendo 4 punti 3 sono contenuti in un piano per forza e 1 e fuori quindi diventa esiste almeno un punto che non appartiene al piano".
E' un buon esercizio anche confutare le proprie ipotesi. In particolare, il punto in cui scrivi "esiste almeno un punto che non appartiene al piano" secondo te è corretta?
E' sempre valida? Così com'è scritto la prima domanda che mi farei è: ma di quale piano sto parlando? Dove si trovano i punti che sto esaminando?
Quanti piani ho a disposizione per il mio esempio? Quanti ne sto tenendo in considerazione? Dove si trova il punto che non appartiene al piano? Rispetto a quali altri punti, presi a riferimento, posso ritenere valida la mia ipotesi? etc etc
Credo che il tuo sia un grido di "dolore" quindi ..... scrivi di impeto.
Soffermati ad esaminare la frase dove scrivi "ma appunto se prendo 4 punti 3 sono contenuti in un piano per forza e 1 e fuori quindi diventa esiste almeno un punto che non appartiene al piano".
E' un buon esercizio anche confutare le proprie ipotesi. In particolare, il punto in cui scrivi "esiste almeno un punto che non appartiene al piano" secondo te è corretta?
E' sempre valida? Così com'è scritto la prima domanda che mi farei è: ma di quale piano sto parlando? Dove si trovano i punti che sto esaminando?
Quanti piani ho a disposizione per il mio esempio? Quanti ne sto tenendo in considerazione? Dove si trova il punto che non appartiene al piano? Rispetto a quali altri punti, presi a riferimento, posso ritenere valida la mia ipotesi? etc etc
1)“esistono una retta ed almeno un punto fuori di essa”.
Questo ha senso , ma è una frase diversa da 2)"Esistono almeno tre punti che non giacciono sulla stessa retta" . Ma l'unico modo in cui sei arrivato alla prima affermazione è che logicamente non può essere altrimenti , non perchè la seconda ha quel senso.
Ma è un problema di letteratura perchè continuo a non capire come "Esistono almeno tre.." dia qualche informazione sul fatto che con due bisogna fare una retta .
Grazie per la pazienza. Ho capito come leggere la cosa quindi il dubbio è per lo più risolto.
Questo ha senso , ma è una frase diversa da 2)"Esistono almeno tre punti che non giacciono sulla stessa retta" . Ma l'unico modo in cui sei arrivato alla prima affermazione è che logicamente non può essere altrimenti , non perchè la seconda ha quel senso.
Ma è un problema di letteratura perchè continuo a non capire come "Esistono almeno tre.." dia qualche informazione sul fatto che con due bisogna fare una retta .
Grazie per la pazienza. Ho capito come leggere la cosa quindi il dubbio è per lo più risolto.
"a42bbbb":
1)“esistono una retta ed almeno un punto fuori di essa”.
Ed infatti ti colpisce quella che è la formulazione più complicata, mentre le altre due sono più semplici... Segno del fatto che non interpreti quello che c'è scritto in una frase, ma ti limiti a guardarla superficialmente ed a constatare se essa si conforma alla tua fetta di "senso comune".
Questo è un problema grosso[nota]Problema molto comune, che si manifesta soprattutto nel primo approccio alla teoria assiomatica della Geometria, in cui gli assiomi ed il modo in cui sono espressi cozzano col "senso comune".[/nota], non solo per quel che riguarda la Matematica, ma del tutto in generale.
Non puoi pretendere che tutto ti sia immediatamente accessibile senza sforzo interpretativo: il mondo non funziona così.
"a42bbbb":
Questo ha senso , ma è una frase diversa da 2)"Esistono almeno tre punti che non giacciono sulla stessa retta" . Ma l'unico modo in cui sei arrivato alla prima affermazione è che logicamente non può essere altrimenti , non perchè la seconda ha quel senso.
Beh, no: il senso della frase 2) è esattamente quello della frase 1).
Di mezzo, però, c'è l'interpretazione di 2) alla luce degli altri assiomi e dell'uso dell'aggettivo "stessa", come ti ho scritto più sopra; insomma, tra 2) (formulazione semplice) ed 1) (formulazione complessa) c'è un lavoro da parte mia che tu non hai fatto, limitandoti a rimanere in superficie.
"a42bbbb":
Ma è un problema di letteratura [...]
Addirittura di "letteratura"...
"a42bbbb":
[...] perchè continuo a non capire come "Esistono almeno tre.." dia qualche informazione sul fatto che con due bisogna fare una retta .
Devi ragionare.
La Geometria, anzi, tutta la Matematica si studia così: ragionando su quanto non c'è scritto o su quel che è condensato in formule.
"a42bbbb":
Grazie per la pazienza. Ho capito come leggere la cosa quindi il dubbio è per lo più risolto.
In realtà, "leggere la cosa" dovrebbe essere il tuo ultimo problema; è più importante che ti concentri su "leggere" e basta.
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