Assiomi della distanza
Domandina:
Sul mio santissimo libro vengono dati, tra gli assiomi della distanza, questi due:
i) $d(A,B)=d(B,A)$
..........................
..........................
iv) $d(A',B')=d(A,B)$ $\hArr$ $A'B' e AB$ $sono c o n g r u e n ti $
Ma il i) non segue dal iv)? Che necessità c'è di porlo come assioma? Forse non ho capito qualcosa.
Qualcuno mi può illuminare? Grazie.
Ciao
Sul mio santissimo libro vengono dati, tra gli assiomi della distanza, questi due:
i) $d(A,B)=d(B,A)$
..........................
..........................
iv) $d(A',B')=d(A,B)$ $\hArr$ $A'B' e AB$ $sono c o n g r u e n ti $
Ma il i) non segue dal iv)? Che necessità c'è di porlo come assioma? Forse non ho capito qualcosa.
Qualcuno mi può illuminare? Grazie.
Ciao
Risposte
Faccio alcune considerazioni a partire da cose "orecchiate"
(1) non so se c'è una vera definizione di "non euclideo" - secondo me una qualunque superficie (varietà) che
non sia $RR^n$ ha un "geometria non euclidea$
(2) Per la questione delle parallele bisognerebbe dire cos'è una retta su una varietà - per questo (CREDO)
si ricorre all'idea di geodetica, cioè a una curva che localmente realizza il minimo della distanza tra i suoi punti
(per farlo credo serva una struttura "riemanniana" sulla varietà - cioè una metrica indotta da un prodotto scalare).
In questo modo in una sfera le rette sono i cerchi massimi e quindi non esistono parallele (= rette che non si intersecano),
al contrario su un iperboloide dovrebbero esserci infinite rette parallele passanti per due punti distinti).
Per quanto riguarda lo spazio proiettivo non so bene che tipo di situazione di presenti - propenderei più per la prima, ma ...
(3) Mi pare infine - tornando sull'antipatia di martino verso la geometria euclidea - che ciò che a lui non piace non sia tanto
la geometria euclidea (non credo che voglia togliere dai piedi $RR^n$ ...) quanto un "modello" della geometria basato su
oggetti che non sono numeri e operazioni sui numeri (ma punti, rette, movimenti rigidi ...). Concordo che prendere $RR^2$ invece del piano, come
ormai siamo abituati a fare, sembra assai comodo, ma filosoficamente l'approccio sintetico mi pare interessante.
(1) non so se c'è una vera definizione di "non euclideo" - secondo me una qualunque superficie (varietà) che
non sia $RR^n$ ha un "geometria non euclidea$
(2) Per la questione delle parallele bisognerebbe dire cos'è una retta su una varietà - per questo (CREDO)
si ricorre all'idea di geodetica, cioè a una curva che localmente realizza il minimo della distanza tra i suoi punti
(per farlo credo serva una struttura "riemanniana" sulla varietà - cioè una metrica indotta da un prodotto scalare).
In questo modo in una sfera le rette sono i cerchi massimi e quindi non esistono parallele (= rette che non si intersecano),
al contrario su un iperboloide dovrebbero esserci infinite rette parallele passanti per due punti distinti).
Per quanto riguarda lo spazio proiettivo non so bene che tipo di situazione di presenti - propenderei più per la prima, ma ...
(3) Mi pare infine - tornando sull'antipatia di martino verso la geometria euclidea - che ciò che a lui non piace non sia tanto
la geometria euclidea (non credo che voglia togliere dai piedi $RR^n$ ...) quanto un "modello" della geometria basato su
oggetti che non sono numeri e operazioni sui numeri (ma punti, rette, movimenti rigidi ...). Concordo che prendere $RR^2$ invece del piano, come
ormai siamo abituati a fare, sembra assai comodo, ma filosoficamente l'approccio sintetico mi pare interessante.
"Non euclideo" non ha una vera e propria definizione. Mi spiego meglio: leggendo su wikipedia italiana si trova che tra le geometrie non euclidee vi sono quelle iperbolica, ellittica, sferica; leggendo invece su wikepdia in inglese si trova che vi sono anche quella affine, quella proiettiva, quella assoluta.
Leggendo poi su un sito inglese, che adesso non ricordo bene, e su questo http://www.cs.unm.edu/~joel/NonEuclid/noneuclidean.html si trova che vengono catalogate come geometrie non euclidee tutte quelle che violano o non accettano almeno uno dei cinque postulati di Euclide.
Il motivo di questa discrepanza credo possa catalogarsi come motivo di ordine storico: non euclidee è una etichetta che viene affissa su quelle geometrie in cui valgono i primi quattro postulati di Euclide, ma non il quinto, quindi parliamo delle geometrie di Riemann, Gauss, Lobacevskji, Bolyai, cioè le geometrie Iperbolica, Sferica, Ellittica. Il motivo è semplice: queste geometrie nascono come tentativo si sconfessare o rielaborare, almeno in parte, la geometria euclidea e, quindi, nel momento in cui nascono vengono nominate "non euclidee" per porre in evidenza come esse siano la violazione della geometria euclidea.
La geometria affine e la geometria proiettiva nascono e si sviluppano in modo parallelo (mo ci vuole
), non con l'intento di violare la geometria euclidea ma di costruire un altra geometria: basti pensare che la geometria proiettiva nasce come tentivo di matematizzare la tecnica prospettiva propria del disegno. Quindi queste geometrie sorgono su un terreno culturale differente quanto a finalità e, per tanto, vengono solitamente presentate come geometrie alternative alla geometria euclidea e, non nascendo come tentativo di negazione di quest'ultima, non vengono, solitamente, raccolte tra le geometrie "non euclidee" (ove "non euclidee" è l'etichetta). Tuttavia, nel corso dello studio di queste geometrie si vede che alcuni postulati di euclide (terzo e quart per la precisione) non hanno senso, si vede che alcuni degli enti che studia la geometria euclidea non sono presenti (gli angoli in quella affine - mi pare - , le parallele - in quella proeittiva - ) e si vede anche che alcuni dei postulati di euclide sono "giustificabili" in queste geometrie: dunque, queste geometrie costituiscono una generalizzazione della geometria euclidea e, al tempo stesso, non sono euclidee perché non ne accettano i postulati.
Quindi non-euclidee sono tutte le geometrie che violano almeno uno dei postulati di Euclide, solo che nel senso comune l'etichetta "non-euclidee" è "appiccicata" solo ad alcune geometrie: a conferma di ciò, sul Coxeter (Non Euclidean Geometry) vi sono proprio la geometria affine e la geometria proiettiva (tra le altre).
Questo per dare qualche spunto sull'idea (1) di ViciousGoblinEnters e per chiarire il mio post precedente a quello di Martino, che, rileggendolo, non era molto chiaro (almeno a me ha dato questa sensazione).
Leggendo poi su un sito inglese, che adesso non ricordo bene, e su questo http://www.cs.unm.edu/~joel/NonEuclid/noneuclidean.html si trova che vengono catalogate come geometrie non euclidee tutte quelle che violano o non accettano almeno uno dei cinque postulati di Euclide.
Il motivo di questa discrepanza credo possa catalogarsi come motivo di ordine storico: non euclidee è una etichetta che viene affissa su quelle geometrie in cui valgono i primi quattro postulati di Euclide, ma non il quinto, quindi parliamo delle geometrie di Riemann, Gauss, Lobacevskji, Bolyai, cioè le geometrie Iperbolica, Sferica, Ellittica. Il motivo è semplice: queste geometrie nascono come tentativo si sconfessare o rielaborare, almeno in parte, la geometria euclidea e, quindi, nel momento in cui nascono vengono nominate "non euclidee" per porre in evidenza come esse siano la violazione della geometria euclidea.
La geometria affine e la geometria proiettiva nascono e si sviluppano in modo parallelo (mo ci vuole
), non con l'intento di violare la geometria euclidea ma di costruire un altra geometria: basti pensare che la geometria proiettiva nasce come tentivo di matematizzare la tecnica prospettiva propria del disegno. Quindi queste geometrie sorgono su un terreno culturale differente quanto a finalità e, per tanto, vengono solitamente presentate come geometrie alternative alla geometria euclidea e, non nascendo come tentativo di negazione di quest'ultima, non vengono, solitamente, raccolte tra le geometrie "non euclidee" (ove "non euclidee" è l'etichetta). Tuttavia, nel corso dello studio di queste geometrie si vede che alcuni postulati di euclide (terzo e quart per la precisione) non hanno senso, si vede che alcuni degli enti che studia la geometria euclidea non sono presenti (gli angoli in quella affine - mi pare - , le parallele - in quella proeittiva - ) e si vede anche che alcuni dei postulati di euclide sono "giustificabili" in queste geometrie: dunque, queste geometrie costituiscono una generalizzazione della geometria euclidea e, al tempo stesso, non sono euclidee perché non ne accettano i postulati.Quindi non-euclidee sono tutte le geometrie che violano almeno uno dei postulati di Euclide, solo che nel senso comune l'etichetta "non-euclidee" è "appiccicata" solo ad alcune geometrie: a conferma di ciò, sul Coxeter (Non Euclidean Geometry) vi sono proprio la geometria affine e la geometria proiettiva (tra le altre).
Questo per dare qualche spunto sull'idea (1) di ViciousGoblinEnters e per chiarire il mio post precedente a quello di Martino, che, rileggendolo, non era molto chiaro (almeno a me ha dato questa sensazione).
OT.
Una curiosità vien leggendo i vostri post dall'alto della mia totale ignoranza: esistono geometrie euclidee in più di due dimesioni?
Rammento: è solo una curiosità che si appaga con una crocetta sul SI o sul NO (tanto non ho idea di cosa abbiate parlato sopra: Solo sentito dire).
Ciao e grazie
Una curiosità vien leggendo i vostri post dall'alto della mia totale ignoranza: esistono geometrie euclidee in più di due dimesioni?
Rammento: è solo una curiosità che si appaga con una crocetta sul SI o sul NO (tanto non ho idea di cosa abbiate parlato sopra: Solo sentito dire).
Ciao e grazie
SI
mi risulta che il nostro spazio FISICO (molto probabilmente) non sia euclideo - roba di relativitìtà generale e simili
(di cui NON SO NULLA)
Matematicamente puoi "descrivere" tranquillamente uno spazio tridimensionale che sia la superficie di una sfera,
cioè il bordo di una palla quadridimensionale - difficile da visualizzare se non mediante l' analogia con la sfera
bidimensionale nello spazio tridimensionale. In questo spazio se spari un proiettile prima o poi ti colpisce alle spalle
- attento! - (e proiettili paralleli si incontrano).
mi risulta che il nostro spazio FISICO (molto probabilmente) non sia euclideo - roba di relativitìtà generale e simili
(di cui NON SO NULLA)
Matematicamente puoi "descrivere" tranquillamente uno spazio tridimensionale che sia la superficie di una sfera,
cioè il bordo di una palla quadridimensionale - difficile da visualizzare se non mediante l' analogia con la sfera
bidimensionale nello spazio tridimensionale. In questo spazio se spari un proiettile prima o poi ti colpisce alle spalle
- attento! - (e proiettili paralleli si incontrano).
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