Assiomi della distanza
Domandina:
Sul mio santissimo libro vengono dati, tra gli assiomi della distanza, questi due:
i) $d(A,B)=d(B,A)$
..........................
..........................
iv) $d(A',B')=d(A,B)$ $\hArr$ $A'B' e AB$ $sono c o n g r u e n ti $
Ma il i) non segue dal iv)? Che necessità c'è di porlo come assioma? Forse non ho capito qualcosa.
Qualcuno mi può illuminare? Grazie.
Ciao
Sul mio santissimo libro vengono dati, tra gli assiomi della distanza, questi due:
i) $d(A,B)=d(B,A)$
..........................
..........................
iv) $d(A',B')=d(A,B)$ $\hArr$ $A'B' e AB$ $sono c o n g r u e n ti $
Ma il i) non segue dal iv)? Che necessità c'è di porlo come assioma? Forse non ho capito qualcosa.
Qualcuno mi può illuminare? Grazie.
Ciao
Risposte
Io sapevo che se $X$ è un insieme, allora una distanza su $X$ è una qualunque funzione $d: X \times X \to \mathbb{R}$ che rispetta queste tre proprietà:
1) $d(x,y) \ge 0 \quad \forall x, y \in X$ e $d(x,y) = 0 \iff x = y$ (definita positività)
2) $d(x,y) = d(y,x) \quad \forall x, y \in X$ (simmetria)
3) $d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y) \quad \forall x,y,z \in X$ (disuguaglianza triangolare)
Sinceramente non capisco il iv)...
1) $d(x,y) \ge 0 \quad \forall x, y \in X$ e $d(x,y) = 0 \iff x = y$ (definita positività)
2) $d(x,y) = d(y,x) \quad \forall x, y \in X$ (simmetria)
3) $d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y) \quad \forall x,y,z \in X$ (disuguaglianza triangolare)
Sinceramente non capisco il iv)...
Credo sia un problema di 'vecchia data': gli assiomi proposti da silente vogliono introdurre una formalizzazione della geometria euclidea (lo deduco dal fatto che si parla di congruenza, mi sbaglio?), quindi in realtà descrivono la distanza ma non nel suo aspetto più generale: prendono la geometria euclidea come 'buona', ricavano alcune proprietà della distanza e le elencano col nome di "assiomi". Già quando si parla di segmenti si sottintende una distanza, se non addirittura l'esistenza di direzioni..
Ma d'altra parte, se il libro è per studenti delle superiori, capisco che uscire dall'ambito della geometria euclidea sarebbe troppo traumatico..
Silente, potresti specificare in che insieme vivono i punti? Nel piano?
E, il libro che utilizzi è un libro delle superiori?
Ma d'altra parte, se il libro è per studenti delle superiori, capisco che uscire dall'ambito della geometria euclidea sarebbe troppo traumatico..
Silente, potresti specificare in che insieme vivono i punti? Nel piano?
E, il libro che utilizzi è un libro delle superiori?
Silente, potresti specificare in che insieme vivono i punti? Nel piano?
E, il libro che utilizzi è un libro delle superiori
I punti sono del piano e il libro è delle superiori (MultiFormat per precisione).
Grazie gentili signori.
La distanza
$d(A,B) = -d(B,A)$
così i conti tornano....
$d(A,B) = -d(B,A)$
così i conti tornano....
Sono arrivato a questa discussione tramite Google, cercando informazioni sui quattro assiomi della metrica.
Nel primo post sono citati il primo e il quarto.
Potete per favore riportare anche gli altri due?
Gazie.
Saluti
Nel primo post sono citati il primo e il quarto.
Potete per favore riportare anche gli altri due?
Gazie.
Saluti
"IvanTerr":
La distanza
$d(A,B) = -d(B,A)$
così i conti tornano....
Come?
"zulabar":
Sono arrivato a questa discussione tramite Google, cercando informazioni sui quattro assiomi della metrica.
Nel primo post sono citati il primo e il quarto.
Potete per favore riportare anche gli altri due?
Gazie.
Saluti
Gli assiomi della metrica sono quelli riportati da Tipper.
Allora è giusto affermare che dal "mio" 4° assioma
$d(A,B) = d(A',B') \hArr AB -= A'B'$
seguono i tre assiomi della metrica?
A me pare evidente ma ogni tanto mi abbaglio.
Grazie
P.s.
Una curiosità fuori tema:
Io ho trovato sul testo anche un assioma della congruenza "atipico".
Lo riporto:
[size=134]Due triangoli che abbiano due lati e l'angolo compreso congruenti hanno anche gli altri due angoli congruenti.[/size]
Direi che è stato posto per evitare di introdurre il concetto di movimento rigido.
Ma è il mio libro che è strano?
$d(A,B) = d(A',B') \hArr AB -= A'B'$
seguono i tre assiomi della metrica?
A me pare evidente ma ogni tanto mi abbaglio.
Grazie
P.s.
Una curiosità fuori tema:
Io ho trovato sul testo anche un assioma della congruenza "atipico".
Lo riporto:
[size=134]Due triangoli che abbiano due lati e l'angolo compreso congruenti hanno anche gli altri due angoli congruenti.[/size]
Direi che è stato posto per evitare di introdurre il concetto di movimento rigido.
Ma è il mio libro che è strano?
"silente":
Allora è giusto affermare che dal "mio" 4° assioma
$d(A,B) = d(A',B') \hArr AB -= A'B'$
seguono i tre assiomi della metrica?
A me pare evidente ma ogni tanto mi abbaglio.
Grazie
Per far discendere i tre assiomi della metrica dal tuo quarto dobbiamo poter parlare di segmenti e di congruenza tra segmenti, e quindi siamo costretti a perdere in generalità. Comunque non mi è ancora chiaro il motivo per cui si introducano queste proprietà chiamandole "assiomi".
Potresti scrivere tutti e quattro gli assiomi scritti sul tuo libro? E potresti riportare pure la definizione di distanza (sempre secondo il tuo libro)?
Ora capisco perché non capivo niente di geometria alle superiori
Eccolo
ASSIOMA 8
A ogni coppia di punti del piano è associato un numero reale non negativo, detto distanza tra i due punti e indicato con d, tale che, per ogni terna A,B,C di punti del piano:
i) $d(A,B)=d(B,A)$
ii) $d(A,C) < d(A,B) + d(B,C) \hArr A,B,C$ non sono allineati
iii) $d(A,C,) = d(A,B) +d(B,C)\hArr $ B sta fra A e C
iv) $d(A'B') = d(A,B) \hArr A'B' -= AB$
Indipendentemente dal modo in cui sono qui definiti, chiedevo se i tre assiomi della metrica (quelli di Tipper per intenderci) si possono logicamente far seguire da iv) $d(A'B') = d(A,B) \hArr A'B' -= AB$.
Capisco che cosi ci si vincola alla geometria euclidea e si perde i generalità ma per ora bisogna che mi accontenti di questo.
Grazie Martino.
ASSIOMA 8
A ogni coppia di punti del piano è associato un numero reale non negativo, detto distanza tra i due punti e indicato con d, tale che, per ogni terna A,B,C di punti del piano:
i) $d(A,B)=d(B,A)$
ii) $d(A,C) < d(A,B) + d(B,C) \hArr A,B,C$ non sono allineati
iii) $d(A,C,) = d(A,B) +d(B,C)\hArr $ B sta fra A e C
iv) $d(A'B') = d(A,B) \hArr A'B' -= AB$
Indipendentemente dal modo in cui sono qui definiti, chiedevo se i tre assiomi della metrica (quelli di Tipper per intenderci) si possono logicamente far seguire da iv) $d(A'B') = d(A,B) \hArr A'B' -= AB$.
Capisco che cosi ci si vincola alla geometria euclidea e si perde i generalità ma per ora bisogna che mi accontenti di questo.
Grazie Martino.
E potresti riportare pure la definizione di distanza (sempre secondo il tuo libro)?
Questo mi sembra una buona domanda! (che temo non avrà una risposta soddisfacente dal libro)
Associare ad ogni segmento la sua lungezza mi pare un'operazione concettualmete assai
avanzata ....
Premetto che ho paura di non esserti utile direttamente, perché io sono sempre partito dalla definizione di distanza che ha riportato Tipper e non conosco gli assiomi della geometria euclidea (non riesco ad accettarli).
Non mi mantengo sul "sibillino" perché mi diverte, in realtà non saprei risponderti. Il motivo è essenzialmente che nei quattro assiomi da te riportati appaiono concetti come "punti allineati", "punti che stanno tra altri punti", "segmenti congruenti" che evidentemente sono stati definiti in precedenza. Allora a questo punto mi perdo perché quando chiedi se i tre assiomi della metrica si possono logicamente far discendere da iv), non riesco a dare un significato alla parola "logicamente", in quanto non so cosa bisogna dare per definito e conosciuto e cosa no.
Detto questo, immagino che da iv) segua i) se si ammette che il "segmento" (definizione di segmento?
) AB e il "segmento" BA sono congruenti. Come posso mostrare che AB e BA sono congruenti? Forse ruotando AB attorno al suo punto medio.. (capisci il mio problema? Non so se il "punto medio" è già stato definito, e cosa più grave, non so cosa sia una rotazione).
Per la ii), non basta ricordare che in un triangolo non degenere la somma di due lati è certamente maggiore del terzo lato: questo concetto è conosciuto come "disuguaglianza triangolare" e ironicamente è uno degli assiomi della metrica. Quindi, che fare? Non lo so.
Nell'osservare la iii) mi trovo in imbarazzo perché non saprei davvero tradurre in parole semplici un concetto come "un punto sta tra due punti".
In definitiva, ci sono "troppe cose da definire"
Spero che qualcuno riesca ad esserti più utile.
"silente":
Eccolo
ASSIOMA 8
A ogni coppia di punti del piano è associato un numero reale non negativo, detto distanza tra i due punti e indicato con d, tale che, per ogni terna A,B,C di punti del piano:
i) $d(A,B)=d(B,A)$
ii) $d(A,C) < d(A,B) + d(B,C) \hArr A,B,C$ non sono allineati
iii) $d(A,C,) = d(A,B) +d(B,C)\hArr $ B sta fra A e C
iv) $d(A'B') = d(A,B) \hArr A'B' -= AB$
Indipendentemente dal modo in cui sono qui definiti, chiedevo se i tre assiomi della metrica (quelli di Tipper per intenderci) si possono logicamente far seguire da iv) $d(A'B') = d(A,B) \hArr A'B' -= AB$.
Capisco che cosi ci si vincola alla geometria euclidea e si perde i generalità ma per ora bisogna che mi accontenti di questo.
Grazie Martino.
Non mi mantengo sul "sibillino" perché mi diverte, in realtà non saprei risponderti. Il motivo è essenzialmente che nei quattro assiomi da te riportati appaiono concetti come "punti allineati", "punti che stanno tra altri punti", "segmenti congruenti" che evidentemente sono stati definiti in precedenza. Allora a questo punto mi perdo perché quando chiedi se i tre assiomi della metrica si possono logicamente far discendere da iv), non riesco a dare un significato alla parola "logicamente", in quanto non so cosa bisogna dare per definito e conosciuto e cosa no.
Detto questo, immagino che da iv) segua i) se si ammette che il "segmento" (definizione di segmento?
) AB e il "segmento" BA sono congruenti. Come posso mostrare che AB e BA sono congruenti? Forse ruotando AB attorno al suo punto medio.. (capisci il mio problema? Non so se il "punto medio" è già stato definito, e cosa più grave, non so cosa sia una rotazione).Per la ii), non basta ricordare che in un triangolo non degenere la somma di due lati è certamente maggiore del terzo lato: questo concetto è conosciuto come "disuguaglianza triangolare" e ironicamente è uno degli assiomi della metrica. Quindi, che fare? Non lo so.
Nell'osservare la iii) mi trovo in imbarazzo perché non saprei davvero tradurre in parole semplici un concetto come "un punto sta tra due punti".
In definitiva, ci sono "troppe cose da definire"
Spero che qualcuno riesca ad esserti più utile.
Martino suole dire
Ma così mi dici che dovrei buttare tutta la geometria euclidea. Birbante! (e agnostico)
Ciao e grazie 1000
Detto questo, immagino che da iv) segua i) se si ammette che il "segmento" (definizione di segmento? ) AB e il "segmento" BA sono congruenti. Come posso mostrare che AB e BA sono congruenti? Forse ruotando AB attorno al suo punto medio.. (capisci il mio problema? Non so se il "punto medio" è già stato definito, e cosa più grave, non so cosa sia una rotazione).
Ma così mi dici che dovrei buttare tutta la geometria euclidea. Birbante! (e agnostico)
Ciao e grazie 1000
Una considerazione buttata lì...
A me il tuo libro non piace per niente. Non ho nulla di personale contro quel testo, anche perché non lo conosco, però lo trovo molto caotico. Ho avuto modo di leggere anche altri tuoi post in cui facevi riferimento al tuo testo e riportavi stralci di quello che in esso è contenuto, e devo dire che non mi piace per ninte.
Ho pochissima esperienza in matematica e ancor meno competenza, ma, a mio modestisimo avviso, il tuo testo fa una miscellanea tra la geometria sintetica di Euclide (intendo la geometria Euclidea originale, quella riportata negli Elementi di Euclide) e la corretta assiomatizzazione della geometria Euclidea elaborata da Hilbert (infatti il simbolo $\equiv$ come denotatore della relazione di congruenza compare in Hilbert).
Euclide organizzò la sua geometria su ventitre (mi pare) definizioni, cinque assiomi e cinque postulati: i cinque assiomi vengono distinti dai postulati perché sono cinque assiomi di natura generale (infatti dicono che data una uguaglianza puoi sommare membro a membro, l'uguaglianza tra oggetti geometrici è transitiva, un oggetto geometrico è maggiore della sua parte, et cetera; ovviamente queste cose sono ben più generali: anche in $x+3=6$ puoi sommare un qualunque numero ad ambo i membri, l'unità è maggiore di una sua parte, i.e. $1>1/n, n \in NN_0 - {0,1}$, o più in generale, dato l'intero positivo $m$ si ha che $m/n
La geometria sintetica è, però, fortemente intuitiva e in quei cinque postulati Euclide si semplificò la vita andando a sottoindere (anche nelle ventitre definizioni) molte delle proprietà che caratterizzano i concetti primitivi che andò a definire senza definirli (è ovvio che ho usato questo gioco di parole dacché un concetto primitivo non si definisce, ma si può al più caratterizzare in modo intuitivo e non formale - donde la non definibilità rigorosamente intesa - e questo è quello che Euclide fece nelle famose ventitre - sempre ammesso che tante fossero ); quindi Hilbert in un testo che non ricordo come si chiama (perché, mi pare, in tedesco, quindi io che non conosco nemmeno l'inglese sono rovinato ) fornì la corretta assiomatizzazione della geometria euclidea con la bellezza di ventuno assiomi, messi assime a i vari concetti primitivi che in un modo o nell'altro giocano un ruolo nella geometria euclidea. E (per rispondere a Martino che chiedeva della definizione di "stare in mezzo") in Hilbert il concetto di "stare in mezzo" non è definito ma assunto come primitivo (mi pare, nel senso del suo significato comune).
QUello che il tuo testo fa mi pare essere una cosa a metà strada tra la geometria euclidea di Euclide e la geometria euclidea assiomatica di Hilbert: ovviamente, errore.
Confonde le idee, perché mette assieme assiomi presentati nella geometria euclidea di Euclide (qual'è quella solitamente - almeno sino ai miei tempi - presentata alle superiori) con assiomi presenti nella geometria euclidea di Hilbert, producendo come risultato che uno non sa che senso dare all'uno o all'altro assioma.
Di più non so dire, anche perché non conosco gli assiomi di Hilbert.
Se vuoi, prova a cercare su wiki la geometria euclidea e vedi cosa ti dice.
Saluti a tutti.
A me il tuo libro non piace per niente. Non ho nulla di personale contro quel testo, anche perché non lo conosco, però lo trovo molto caotico. Ho avuto modo di leggere anche altri tuoi post in cui facevi riferimento al tuo testo e riportavi stralci di quello che in esso è contenuto, e devo dire che non mi piace per ninte.
Ho pochissima esperienza in matematica e ancor meno competenza, ma, a mio modestisimo avviso, il tuo testo fa una miscellanea tra la geometria sintetica di Euclide (intendo la geometria Euclidea originale, quella riportata negli Elementi di Euclide) e la corretta assiomatizzazione della geometria Euclidea elaborata da Hilbert (infatti il simbolo $\equiv$ come denotatore della relazione di congruenza compare in Hilbert).
Euclide organizzò la sua geometria su ventitre (mi pare) definizioni, cinque assiomi e cinque postulati: i cinque assiomi vengono distinti dai postulati perché sono cinque assiomi di natura generale (infatti dicono che data una uguaglianza puoi sommare membro a membro, l'uguaglianza tra oggetti geometrici è transitiva, un oggetto geometrico è maggiore della sua parte, et cetera; ovviamente queste cose sono ben più generali: anche in $x+3=6$ puoi sommare un qualunque numero ad ambo i membri, l'unità è maggiore di una sua parte, i.e. $1>1/n, n \in NN_0 - {0,1}$, o più in generale, dato l'intero positivo $m$ si ha che $m/n
La geometria sintetica è, però, fortemente intuitiva e in quei cinque postulati Euclide si semplificò la vita andando a sottoindere (anche nelle ventitre definizioni) molte delle proprietà che caratterizzano i concetti primitivi che andò a definire senza definirli (è ovvio che ho usato questo gioco di parole dacché un concetto primitivo non si definisce, ma si può al più caratterizzare in modo intuitivo e non formale - donde la non definibilità rigorosamente intesa - e questo è quello che Euclide fece nelle famose ventitre - sempre ammesso che tante fossero
); quindi Hilbert in un testo che non ricordo come si chiama (perché, mi pare, in tedesco, quindi io che non conosco nemmeno l'inglese sono rovinato ) fornì la corretta assiomatizzazione della geometria euclidea con la bellezza di ventuno assiomi, messi assime a i vari concetti primitivi che in un modo o nell'altro giocano un ruolo nella geometria euclidea. E (per rispondere a Martino che chiedeva della definizione di "stare in mezzo") in Hilbert il concetto di "stare in mezzo" non è definito ma assunto come primitivo (mi pare, nel senso del suo significato comune).QUello che il tuo testo fa mi pare essere una cosa a metà strada tra la geometria euclidea di Euclide e la geometria euclidea assiomatica di Hilbert: ovviamente, errore.
Confonde le idee, perché mette assieme assiomi presentati nella geometria euclidea di Euclide (qual'è quella solitamente - almeno sino ai miei tempi - presentata alle superiori) con assiomi presenti nella geometria euclidea di Hilbert, producendo come risultato che uno non sa che senso dare all'uno o all'altro assioma.
Di più non so dire, anche perché non conosco gli assiomi di Hilbert.
Se vuoi, prova a cercare su wiki la geometria euclidea e vedi cosa ti dice.
Saluti a tutti.
Detto questo, immagino che da iv) segua i) se si ammette che il "segmento" (definizione di segmento? Smile ) AB e il "segmento" BA sono congruenti. Come posso mostrare che AB e BA sono congruenti? Forse ruotando AB attorno al suo punto medio.. (capisci il mio problema? Non so se il "punto medio" è già stato definito, e cosa più grave, non so cosa sia una rotazione).
Io sono propenso a pensare che il segmento da $A$ a $B$ e quello da $B$ ad $A$ siano lo stesso oggetto.
Credo anche che le rotazioni (e in generale i movimenti rigidi) siano i "concetti primitivi" di questa impostazione
di cui però non ho trovato mai gli assiomi. Probabilmente se questi ultimi venissero chiariti (e se venisse chiarito cosa sono i numeri ...) allora la distanza si potrebbe
costruire e tutte le sue proprietà sarebbero dimostrabili.
Per come è messa nel libro sembra che i primi tre assiomi siano messi per dire che c'è una distanza e l'ultimo
per dire che questa distanza è "invariante per movimenti rigidi".
@silente: mi dispiace screditare la geometria euclidea, ma cavolo, non l'ho mai sopportata 
@Wizard: alla faccia della pochissima esperienza in matematica! Già che ci sono, ti chiedo chiaro e tondo: cos'è per te una geometria non euclidea? Se si tratta di una geometria in cui esistono due rette parallele che si incontrano, allora la geometria dello spazio proiettivo non è euclidea... o sbaglio?
@ViciousGoblinEnters: Secondo me hai ragione, ed è proprio per le cose che hai detto (tra cui "i movimenti rigidi sono concetti primitivi") che non mi piace la geometria euclidea (nel senso di 'basata sugli assiomi di Euclide'). So che quando si fa matematica ci sono forzatamente concetti primitivi (come quello di insieme), ma non concepisco di dare ai movimenti rigidi l'attributo di "primitivi": è veramente troppo.
@Wizard: alla faccia della pochissima esperienza in matematica!
Già che ci sono, ti chiedo chiaro e tondo: cos'è per te una geometria non euclidea? Se si tratta di una geometria in cui esistono due rette parallele che si incontrano, allora la geometria dello spazio proiettivo non è euclidea... o sbaglio?@ViciousGoblinEnters: Secondo me hai ragione, ed è proprio per le cose che hai detto (tra cui "i movimenti rigidi sono concetti primitivi") che non mi piace la geometria euclidea (nel senso di 'basata sugli assiomi di Euclide'). So che quando si fa matematica ci sono forzatamente concetti primitivi (come quello di insieme), ma non concepisco di dare ai movimenti rigidi l'attributo di "primitivi": è veramente troppo.
@WiZaRd
Che dice:
Premetto che sarà bene che mi presenti al forum con qualche nota biografica tanto per chiarire il tono forse un poco atipico dei miei topic. Lo farò al più presto
Sto studiacchiando matematica nel poco tempo libero e per questo ho raccolto un po’ di testi dalla mia girl e qua e là. Così mi trovo con un Dodero, Baroncini Trezzi, un Oriolo Coda, un Palatini Faggioli di geometria e il vecchio mitico Enriques Amaldi (così è ovvio che perdo tempo e faccio casino). Mi manca solo lo Zwirner che era il mio e che mi hanno fottuto. Insomma ho un po’ di testi da confrontare. Cito spesso questo testo perché è il mio preferito (anche se non so se lo consiglierei). Mi capita che nello studiare questo testo mi viene naturale pormi domande e dubbi che la lettura degli altri in genere non mi induce. Dubbi su nuove questioni quindi benvenuti.
Comunque la parte di geometria mi piace molto meno.
P.S. il simbolo di congruenza l’ho messo. Il libro scrive, come nel mio 1° post, sono congruenti per esteso.
Sempre @WiZaRd
Che dice ancora:
Io preferisco che stare in mezzo ad $A$ e $B$ significhi $seguire$ $A$ (nel verso da A a B) e $non$ $seguire$ $B$ (né esserlo) nello stesso verso. Così mi pare si possa fare a meno della relazione ternaria “stare fra” riducendola alla doppia applicazione di una relazione binaria comunque necessaria.
@ ViciousGoblinEnters
Che dice:
Questo (salvo sviste) direi proprio che lo si può dimostrare a partire dagli assiomi d’ordine:
basta definire il segmento $AB$ come l’insieme dei punti $A,B$ e di quelli che $seguono$ $A$ e $non$ $seguono$ $B$ nel verso da $A$ a $B$. In questo modo $AB = BA$
Ancora @ ViciousGoblinEnters
Che dice:
Mi cito da sopra:
Una curiosità fuori tema:
Io ho trovato sul testo anche un assioma della congruenza "atipico".
Lo riporto:Due triangoli che abbiano due lati e l'angolo compreso congruenti hanno anche gli altri due angoli congruenti.
Questo sostituisce il movimento rigido.
Il mio post a dire il vero non voleva sollevare tutti questi dubbi ma essenzialmente chiedere conferma del fatto che, se posto nella geometria euclidea, il iv) assioma della distanza è sufficiente a dimostrare gli altri tre sicché se
A ogni coppia di punti del piano è associato un numero reale non negativo, detto distanza tra i due punti e indicato con d, tale che, per ogni terna A,B,C di punti del piano:
$ d(A’B’) = d(A,B) \hArr A’B’ -= AB$
Questo numero è una distanza (cioè per questo valgono gli assiomi della metrica che ne discendono logicamente).
Della implicazione inversa voi che dite: dati i tre assiomi della metrica dove gli elemento sono punto del piano vale il iv)?
Grazie a tutti
Che dice:
A me il tuo libro non piace per niente…………
Premetto che sarà bene che mi presenti al forum con qualche nota biografica tanto per chiarire il tono forse un poco atipico dei miei topic. Lo farò al più presto
Sto studiacchiando matematica nel poco tempo libero e per questo ho raccolto un po’ di testi dalla mia girl e qua e là. Così mi trovo con un Dodero, Baroncini Trezzi, un Oriolo Coda, un Palatini Faggioli di geometria e il vecchio mitico Enriques Amaldi (così è ovvio che perdo tempo e faccio casino). Mi manca solo lo Zwirner che era il mio e che mi hanno fottuto. Insomma ho un po’ di testi da confrontare. Cito spesso questo testo perché è il mio preferito (anche se non so se lo consiglierei). Mi capita che nello studiare questo testo mi viene naturale pormi domande e dubbi che la lettura degli altri in genere non mi induce. Dubbi su nuove questioni quindi benvenuti.
Comunque la parte di geometria mi piace molto meno.
P.S. il simbolo di congruenza l’ho messo. Il libro scrive, come nel mio 1° post, sono congruenti per esteso.
Sempre @WiZaRd
Che dice ancora:
E (per rispondere a Martino che chiedeva della definizione di "stare in mezzo") in Hilbert il concetto di "stare in mezzo" non è definito ma assunto come primitivo (mi pare, nel senso del suo significato comune).…………
Io preferisco che stare in mezzo ad $A$ e $B$ significhi $seguire$ $A$ (nel verso da A a B) e $non$ $seguire$ $B$ (né esserlo) nello stesso verso. Così mi pare si possa fare a meno della relazione ternaria “stare fra” riducendola alla doppia applicazione di una relazione binaria comunque necessaria.
@ ViciousGoblinEnters
Che dice:
Io sono propenso a pensare che il segmento da $A$ a $B$ e quello da $B$ ad $A$ siano lo stesso oggetto.…………………
Questo (salvo sviste) direi proprio che lo si può dimostrare a partire dagli assiomi d’ordine:
basta definire il segmento $AB$ come l’insieme dei punti $A,B$ e di quelli che $seguono$ $A$ e $non$ $seguono$ $B$ nel verso da $A$ a $B$. In questo modo $AB = BA$
Ancora @ ViciousGoblinEnters
Che dice:
Credo anche che le rotazioni (e in generale i movimenti rigidi) siano i "concetti primitivi" di questa impostazione:…………
Mi cito da sopra:
Una curiosità fuori tema:
Io ho trovato sul testo anche un assioma della congruenza "atipico".
Lo riporto:Due triangoli che abbiano due lati e l'angolo compreso congruenti hanno anche gli altri due angoli congruenti.
Questo sostituisce il movimento rigido.
Il mio post a dire il vero non voleva sollevare tutti questi dubbi ma essenzialmente chiedere conferma del fatto che, se posto nella geometria euclidea, il iv) assioma della distanza è sufficiente a dimostrare gli altri tre sicché se
A ogni coppia di punti del piano è associato un numero reale non negativo, detto distanza tra i due punti e indicato con d, tale che, per ogni terna A,B,C di punti del piano:
$ d(A’B’) = d(A,B) \hArr A’B’ -= AB$
Questo numero è una distanza (cioè per questo valgono gli assiomi della metrica che ne discendono logicamente).
Della implicazione inversa voi che dite: dati i tre assiomi della metrica dove gli elemento sono punto del piano vale il iv)?
Grazie a tutti
@silente
dopo tutte le riflessioni fatte mi sembra che
(1) la proprietà $d(A’B’)=d(A,B)$ se e solo se $AB$ è congruente a $A'B'$
non implica necessariamente che $d$ sia una distanza. Infatti prendi come
$d(A,B)=$ cubo della distanza solita tra $A$ e $B$ : tale $d$ verifica la proprietà sopra
ma non la disuguaglianza triangolare (questo lo vedi per esempio prendendo
$A$ $B$ e $C$ verici di un triangolo rettangolo, con $|AB|=|AC|=1$ e quindi
$|BC|=\sqrt2$ - però $d(A,B)+d(BC)=1^3+1^3=2<\sqrt8=d(BC)$ ).
(2) Le proprietà astratte della distanza non individuano la distanza euclidea
(è facile esibire altre distanze nel piano) e quindi non possono darti il quarto assioma
dopo tutte le riflessioni fatte mi sembra che
(1) la proprietà $d(A’B’)=d(A,B)$ se e solo se $AB$ è congruente a $A'B'$
non implica necessariamente che $d$ sia una distanza. Infatti prendi come
$d(A,B)=$ cubo della distanza solita tra $A$ e $B$ : tale $d$ verifica la proprietà sopra
ma non la disuguaglianza triangolare (questo lo vedi per esempio prendendo
$A$ $B$ e $C$ verici di un triangolo rettangolo, con $|AB|=|AC|=1$ e quindi
$|BC|=\sqrt2$ - però $d(A,B)+d(BC)=1^3+1^3=2<\sqrt8=d(BC)$ ).
(2) Le proprietà astratte della distanza non individuano la distanza euclidea
(è facile esibire altre distanze nel piano) e quindi non possono darti il quarto assioma
(1) la proprietà se e solo se è congruente a
non implica necessariamente che sia una distanza. Infatti prendi come
cubo della distanza solita.................................
Apollineo
Grazie n+1(2) Le proprietà astratte della distanza non individuano la distanza euclidea
(è facile esibire altre distanze nel piano) e quindi non possono darti il quarto assioma
Questo lo sospettavo....
Ciao ciao
"Martino":
Già che ci sono, ti chiedo chiaro e tondo: cos'è per te una geometria non euclidea? Se si tratta di una geometria in cui esistono due rette parallele che si incontrano, allora la geometria dello spazio proiettivo non è euclidea... o sbaglio?
Come detto, la mia esperienza matematica è pochissima, dunque non sono in grado di dare una risposta decente
, anche perché all'università la geometria proiettiva non è argomento del primo anno (e, più in generale, quest'anno sono rimasto parecchio indietro con gli esami, quindi non sono la persona più adatta a cui fare domande, è meglio se le faccio io ).Mi sono documentato un poco e, se ti fa piacere, ti lascio le mie considerazioni.
Credo che bisogna mettersi d'accordo su cosa intenedere con il termine "geometrie non euclidee".
Il quinto postulato di Euclide è indipendetente dai primi quattro ed è meno evidente di questi, nel senso che, mentre i primi quattro postulati sono dettati dall'evidenza, da ciò che si percepisce nelle operazioni che si compiono nelle costruzioni geometriche, il quinto postulato non è evidente con la stessa semplicità dei primi quattro.
Il termine "geometrie non euclidee" è solitamente associato alle geometrie di Riemann, Lobacevskij, Bolay, Klein nelle quali, alemno per quello che so io, valgono tutti i postulati di Euclide tranne il quinto. Inoltre in queste geometrie valgono delle metriche differenti e le figure geometriche che in queste geometrie si ottengono hanno proprietà differenti da quelle delle figure geometriche della geometria euclidea: basti pensare che in una di queste geometrie (non ricordo quale) un triangolo ha gli angoli interni che sommati possono dare un valore maggiore dell'angolo piatto.
La geometria proiettiva prescinde dalla nozione di parallelismo e di confronto tra lunghezze, così come la geometria affine prescinde dalla nozione di angolo. Sia nella geometria affine che nella geometria proiettiva il terzo e il quarto postulato di Eclide perdono di significato, quindi non solo viene a mancare il quinto postulato di Euclide ma anche il terzo e il quarto.
Questo denota il fatto che la geometria proiettiva non è una geometria euclidea.
Quindi, come detto all'inizio, credo sia una questione di accordi: è indiscutibile il fatto che la geometria euclidea è la gemetria euclidea e la geometria proiettiva è una geometria di diverso tipo, quindi non è una geometria euclidea. Solitamente, però, con il termine "geometrie non euclidee" non si abbraccia direttamente anche la geometria proiettiva ma ci si limita a considerare la geometria di quei signori di cui prima dicevo.
Fermo restando dunque il fatto che la geometria proiettiva non è una geometria euclidea, io preferisco pensare che esistono diversi tipi di geometrie tra cui la geometria euclidea, la geometria affine, la geometria proiettiva e le geometrie in cui valgono tutti i postulati di euclide meno uno, dette "geometrie non euclidee".
Spero di aver detto qualche cosa al minimo decente.
Quindi la geometria proiettiva non è euclidea ma non è "non euclidea" già, come sospettavo.
A questo punto mi piacerebbe conoscere qualche geometria "non euclidea" nel senso proprio, ovvero tale per cui solo il quinto postulato viene a mancare.
La cosa che mi lasciava sconcertato è che non troppo raramente la gente a cui dico che faccio matematica mi domanda "ma fate anche le geometrie non euclidee?"; io rifletto un po' e penso che la geometria euclidea l'ho vista praticamente solo al primo anno come caso particolare della geometria affine, e quindi rispondo "si", lasciandoli meravigliati come se avessero visto un fantasma (non sapendo che in matematica ci sono cose ben piu' sconcertanti, per esempio ambienti in cui 5=0 o spazi topologici che ammettono un punto denso ). La prossima volta cerchero' che mi specifichino meglio la domanda alla luce della distinzione tra geometrie non "euclidee" e geometrie "non euclidee"
Grazie mago
Saluti.
già, come sospettavo.A questo punto mi piacerebbe conoscere qualche geometria "non euclidea" nel senso proprio, ovvero tale per cui solo il quinto postulato viene a mancare.
La cosa che mi lasciava sconcertato è che non troppo raramente la gente a cui dico che faccio matematica mi domanda "ma fate anche le geometrie non euclidee?"; io rifletto un po' e penso che la geometria euclidea l'ho vista praticamente solo al primo anno come caso particolare della geometria affine, e quindi rispondo "si", lasciandoli meravigliati come se avessero visto un fantasma (non sapendo che in matematica ci sono cose ben piu' sconcertanti, per esempio ambienti in cui 5=0 o spazi topologici che ammettono un punto denso
). La prossima volta cerchero' che mi specifichino meglio la domanda alla luce della distinzione tra geometrie non "euclidee" e geometrie "non euclidee" Grazie mago
Saluti.
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