Assioma di partizione. Dubbi

[silente1]

Vorrei un parere su questa formulazione dell’assioma di partizione del piano che trovo sul libro:
Una retta r divide i punti del piano in due insiemi infiniti e disgiunti detti semipiani (aperti) tali che, presi due punti A e B non appartenenti alla retta r si verifica uno solo dei due casi:
i) Il segmento AB incontra la retta r (si dice allora che i due punti appartengono allo stesso semipiano)
ii) Il segmento AB non interseca la retta r (allora si dice che A e B appartengono a semipiani opposti)

Secondo voi va bene? Mi riferisco a quel “si dice” che mi pare una sorta di definizione ed al fatto che le i) e ìì) dicono solo che la proposizione "AB incontra la retta r" è vera o è falsa. Cioè non dicono nulla di nuovo.



Un’altra questione: nella scelta degli assiomi si è dato il postulato di partizione del piano da parte della retta; non è stato dato un simile postulato di partizione della retta mediante il punto.
Direi che il secondo è implicito nella definizione dei postulati d’ordine. Supponendo (mi pare legittimamente) che i punti del piano possano essere ordinati (in qualche modo “naturale”) vi chiedo:
Sarebbe stato possibile sostituire il postulato di partizione del piano mediante l’introduzione di un ordinamento dei punti del piano (o magari delle rette del piano)?
È stata una scelta di “opportunità” o c’è qualcosa che non consente di ripetere per il piano e la retta quello che si è fatto per la retta ed il punto?

Grazie