Asintoto verticale e segno...
Ciao a tutti ho un forte dubbio sull'asintoto verticale della funzione $y=1/(sqrt(1-x))-1/(sqrt(x+1))$ essendo definita in $]-1;1[$ vado a vedere se ammette asintoto verticale per $x->-1^+$ e mi trovo:
$lim_(x->-1^+)1/(sqrt(1-x))-1/(sqrt(x+1))=$ $lim_(x->-1^+)1/sqrt2- 1/0^+= -oo$
solo che quando sono andato a calcolare la positività della funzione mi sono trovato che essa è sempre positiva in ogni punto del suo dominio quindi non accettabile??? però il mio dubbio viene perchè il libro lo riporta come soluzione... sbaglio io????
$lim_(x->-1^+)1/(sqrt(1-x))-1/(sqrt(x+1))=$ $lim_(x->-1^+)1/sqrt2- 1/0^+= -oo$
solo che quando sono andato a calcolare la positività della funzione mi sono trovato che essa è sempre positiva in ogni punto del suo dominio quindi non accettabile??? però il mio dubbio viene perchè il libro lo riporta come soluzione... sbaglio io????
Risposte
Il limite è giusto. Hai cannato in pieno lo studio del segno mi sa...
nel senso che non è positiva in tutto il suo dominio?
"domy90":
nel senso che non è positiva in tutto il suo dominio?
Non lo è, no. Ti dirò di più... E' una funzione dispari.
Nel senso che è positiva solo per $x>0$
ho sbagliato io a calcolare la positività infatti doveva essere:
$1/(sqrt(1-x))-1/(sqrt(x+1))>=0$ $rarr$ $(sqrt(x+1)-sqrt(1-x))/(sqrt(1-x)*sqrt(x+1))>=0$ $rarr$ $(sqrt(x+1)-sqrt(1-x))/((1-x)(x+1))>=0$
dunque il numeratore è $>=0$ se $sqrt(x+1)-sqrt(1-x)>=0$ $rarr$ $(sqrt(x+1))^2>=(sqrt(1-x))^2$ $rarr$ $x+1+x-1>=0$ $rarr$ $2x>=0$ $rarr$ $x>=0$
il denominatore è $>0$ se $-1
la simmetria l'ho calcolata sostituendo a $x=-x$ e mi è uscito $1/(sqrt(1+x))-1/(sqrt(1-x))$ sembra che si sia invertita però non so se la funzione risulta pari o dispari cioè la definizione la so solo che non la so riconoscere....
$1/(sqrt(1-x))-1/(sqrt(x+1))>=0$ $rarr$ $(sqrt(x+1)-sqrt(1-x))/(sqrt(1-x)*sqrt(x+1))>=0$ $rarr$ $(sqrt(x+1)-sqrt(1-x))/((1-x)(x+1))>=0$
dunque il numeratore è $>=0$ se $sqrt(x+1)-sqrt(1-x)>=0$ $rarr$ $(sqrt(x+1))^2>=(sqrt(1-x))^2$ $rarr$ $x+1+x-1>=0$ $rarr$ $2x>=0$ $rarr$ $x>=0$
il denominatore è $>0$ se $-1
la simmetria l'ho calcolata sostituendo a $x=-x$ e mi è uscito $1/(sqrt(1+x))-1/(sqrt(1-x))$ sembra che si sia invertita però non so se la funzione risulta pari o dispari cioè la definizione la so solo che non la so riconoscere....
Devi chiederti se [tex]$f(x) = - f(-x)$[/tex] , [tex]$\forall x \in ]-1,1[$[/tex]...
il libro per vedere se è dispari riporta una scrittura diversa $f(-x)=-f(x)$ è la stessa cosa?
cioè quello che non ho capito io per accedere che la $f(x)$ abbia lo stesso grafico della $-f(-x)$ cosa si deve avere nella funzione? io ho pensato: in questo caso la funzione è la stessa solo che i termini si sono scambiati il segno e quindi un elemento è simmetrico se esiste l'opposto ad esempio l'opposto $2$ è $-2$...ho ragionato benino?
cioè quello che non ho capito io per accedere che la $f(x)$ abbia lo stesso grafico della $-f(-x)$ cosa si deve avere nella funzione? io ho pensato: in questo caso la funzione è la stessa solo che i termini si sono scambiati il segno e quindi un elemento è simmetrico se esiste l'opposto ad esempio l'opposto $2$ è $-2$...ho ragionato benino?
"domy90":
il libro per vedere se è dispari riporta una scrittura diversa $f(-x)=-f(x)$ è la stessa cosa?
Sì. Devi verificare che la funzione soddisfa quell'uguaglianza.
ma quindi essendo il grafico simmetrico rispetto all'origine vuol dire che non esiste nemmeno un minimo, massimo? cioè studiando la derivata prima ho trovato un minimo in $(0;0)$ però non lo segna come risultato, mentre segna il flesso in $(0;0)$...
"domy90":
ma quindi essendo il grafico simmetrico rispetto all'origine vuol dire che non esiste nemmeno un minimo, massimo? cioè studiando la derivata prima ho trovato un minimo in $(0;0)$ però non lo segna come risultato, mentre segna il flesso in $(0;0)$...
Il fatto che la funzione sia dispari dovrebbe suggerirti che nel punto [tex]$0$[/tex], che è l'unico punto stazionario, la funzione abbia un flesso a tangente orizzontale.
ah giusto!!!
però per la derivata prima il fatto che ho trovato un minimo lo devo ignorare gistificando che poichè la funzione è dispari studio la derivata prima solo per $x>=0$?
però per la derivata prima il fatto che ho trovato un minimo lo devo ignorare gistificando che poichè la funzione è dispari studio la derivata prima solo per $x>=0$?
"domy90":
però per la derivata prima il fatto che ho trovato un minimo lo devo ignorare gistificando che poichè la funzione è dispari studio la derivata prima solo per $x>=0$?
Ma no... Conosci il teorema di Fermat?
giusto il teorema di Fermat che dice che in $x_0$ la derivata prima [size=150]può[/size] essere punto di massimo o di minimo....
"domy90":
giusto il teorema di Fermat che dice che in $x_0$ la derivata prima [size=150]può[/size] essere punto di massimo o di minimo....
Farò finta che tu abbia scritto l'enunciato per bene (e non una cosa senza senso - comunque ti consiglio di andarlo a rivedere).
L'annullarsi della derivata prima è condizione necessaria ma non sufficiente perché nel punto stazionario la funzione abbia un massimo o un minimo locale.
Infatti nel tuo caso sei in presenza di un flesso.
si infatti il teorema non è dimostrato perchè si deve avere $f'(x_0)=0$ invece a me esce $1$... so che in realtà non si dimostra così è solo un metodo analitico...
"domy90":
si infatti il teorema non è dimostrato perchè si deve avere $f'(x_0)=0$ invece a me esce $1$...
Questo cambia tutto. Io non ho fatto i calcoli e mi sono fidato di te. Avevo capito che la derivata prima fosse nulla in [tex]$0$[/tex].
La funzione è derivabile in [tex]$(-1, 1)$[/tex] e studiando il segno della derivata si scopre che questa è strettamente positiva [tex]$\forall x \in Dom(f)$[/tex]. Con ciò concludi che [tex]$f$[/tex] non ha né massimi, né minimi e né flessi a tangente verticale (teorema di Fermat); [tex]$f$[/tex] è strettamente crescente in tutto l'insieme di definizione. Per individuare il flesso nello [tex]$0$[/tex] serve una derivazione ulteriore; devi studiare la convessità della funzione.
io ho studiato il segno e mi è uscito che è positiva solo in $[0;1[$ mentre è negativa in $]-1;0]$.... poi per vedere se era un minimo ho sostituito nella derivata prima $0$ e ho visto che è uscito $1$...
la derivata prima mi è uscita così: $1/(2(1-x)sqrt(1-x))+1/(2(x+1)sqrt(x+1))$ dando il denominatore comune mi è uscito che $f'(x)=$ $(sqrt((x+1)^3)+sqrt((1-x)^3))/(2(1-x)^2(x+1)^2)$
la derivata prima mi è uscita così: $1/(2(1-x)sqrt(1-x))+1/(2(x+1)sqrt(x+1))$ dando il denominatore comune mi è uscito che $f'(x)=$ $(sqrt((x+1)^3)+sqrt((1-x)^3))/(2(1-x)^2(x+1)^2)$
"domy90":
poi per vedere se era un minimo ho sostituito nella derivata prima $0$ e ho visto che è uscito $1$...
Non capisco il senso di questo. Perché proprio [tex]$0$[/tex]? Non è un punto particolarmente "speciale", è solo uno zero della funzione.
ho sbagliato a scrivere per vedere se era un punto di minimo non ho sostituito $0$ nella derivata prima ma nella funzione di partenza ($1/(sqrt(1-x))-1/(sqrt(x+1))$)....e mi è uscito un minimo in $m(0;0)$ però il libro non me lo riporta come soluzione....ho ricontrollato i calcoli per la derivata prima ma sembra tutto corretto....
"domy90":
ho sbagliato a scrivere per vedere se era un punto di minimo non ho sostituito $0$ nella derivata prima ma nella funzione di partenza ($1/(sqrt(1-x))-1/(sqrt(x+1))$)....e mi è uscito un minimo in $m(0;0)$
Come fa ad "uscirti" un minimo sostituendo a caso un valore nella funzione?
Boh!
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