Asintoto obliquo
Data la funzione:
$y=(x+4)/(e^x+3)$
bisogna ricercare gli asintoti. La funzione non ammette asintoti verticali, e ammette la retta $$y=0$$ come asintoto orizzontale quanto x tende a più infinito. Il mio dubbio è questo: calcolando il limite per x che tende a - infinto per l'asintoto obliquo mi viene la retta $$y=1/3x+4/3$$ ma riproducendo la funzione su geogebra si vede che la funzione a partire da un certo punto coincide con tale retta. Cosa significa in termini di asintoto obliquo?
Spero di essere stata chiara, grazie
$y=(x+4)/(e^x+3)$
bisogna ricercare gli asintoti. La funzione non ammette asintoti verticali, e ammette la retta $$y=0$$ come asintoto orizzontale quanto x tende a più infinito. Il mio dubbio è questo: calcolando il limite per x che tende a - infinto per l'asintoto obliquo mi viene la retta $$y=1/3x+4/3$$ ma riproducendo la funzione su geogebra si vede che la funzione a partire da un certo punto coincide con tale retta. Cosa significa in termini di asintoto obliquo?
Spero di essere stata chiara, grazie
Risposte
Significa che il calcolatore non vede la differenza tra i grafici, perché è infinitesima d’ordine grande, probabilmente.
Infatti, hai:
$f(x) ~~ (x+4)/3 = 1/3 x + 4/3$ per $x -> -oo$
quindi l’asintoto obliquo è quello che hai determinato e:
$f(x) - (m x +q) = (x + 4)/(e^x + 3) - (x+4)/3 = (x+4)/(3 (e^x + 3))*(- e^x) ~~ - x/9*e^x$ per $x -> -oo$
con l’ultimo termine infinitesimo d’ordine infinitamente grande in $-oo$, quindi il calcolatore non vede la differenza.
Inoltre osserva che (come al solito), mentre il grafico è una rappresentazione che introduce errori, il calcolo ti dice esattamente cosa succede: il grafico di $f$ ha asintoto obliquo a sinistra e, dato che $f(x) - (m x + q) > 0$ intorno a $-oo$, il grafico della funzione $f$ si trova strettamente al disopra dell’asintoto.
Infatti, hai:
$f(x) ~~ (x+4)/3 = 1/3 x + 4/3$ per $x -> -oo$
quindi l’asintoto obliquo è quello che hai determinato e:
$f(x) - (m x +q) = (x + 4)/(e^x + 3) - (x+4)/3 = (x+4)/(3 (e^x + 3))*(- e^x) ~~ - x/9*e^x$ per $x -> -oo$
con l’ultimo termine infinitesimo d’ordine infinitamente grande in $-oo$, quindi il calcolatore non vede la differenza.
Inoltre osserva che (come al solito), mentre il grafico è una rappresentazione che introduce errori, il calcolo ti dice esattamente cosa succede: il grafico di $f$ ha asintoto obliquo a sinistra e, dato che $f(x) - (m x + q) > 0$ intorno a $-oo$, il grafico della funzione $f$ si trova strettamente al disopra dell’asintoto.
"gugo82":
Significa che il calcolatore non vede la differenza tra i grafici, perché è infinitesima d’ordine grande, probabilmente.
Infatti, hai:
$f(x) ~~ (x+4)/3 = 1/3 x + 4/3$ per $x -> -oo$
quindi l’asintoto obliquo è quello che hai determinato e:
$f(x) - (m x +q) = (x + 4)/(e^x + 3) - (x+4)/3 = (x+4)/(3 (e^x + 3))*(- e^x) ~~ - x/9*e^x$ per $x -> -oo$
con l’ultimo termine infinitesimo d’ordine infinitamente grande in $-oo$, quindi il calcolatore non vede la differenza.
Inoltre osserva che (come al solito), mentre il grafico è una rappresentazione che introduce errori, il calcolo ti dice esattamente cosa succede: il grafico di $f$ ha asintoto obliquo a sinistra e, dato che $f(x) - (m x + q) > 0$ intorno a $-oo$, il grafico della funzione $f$ si trova strettamente al disopra dell’asintoto.
Ho zoomato il grafico e inizialmente si verifica proprio la situazione opposta poi sembrerebbe addirittura esserci un punto di intersezione e poi si verifica la situazione da te citata come è possibile?
Confermo che l'ipotetico asintoto e la funzione hanno un punto in comune. A questo punto ci sarà una situazione in cui l'asintoto avrà un punto di intersezione con il grafico?
"toguttina":
Confermo che l'ipotetico asintoto e la funzione hanno un punto in comune.
E quale sarebbe, questo punto in comune?
(-4;0)
"toguttina":
[quote="gugo82"]dato che $f(x) - (m x + q) > 0$ intorno a $-oo$, il grafico della funzione $f$ si trova strettamente al disopra dell’asintoto.
Ho zoomato il grafico e inizialmente si verifica proprio la situazione opposta poi sembrerebbe addirittura esserci un punto di intersezione e poi si verifica la situazione da te citata come è possibile?[/quote]
Leggi bene il grassetto.
"toguttina":
Confermo che l'ipotetico asintoto e la funzione hanno un punto in comune. A questo punto non si può parlare di asintoto
E perché mai?
Definizione di asintoto?
A questo punto ci sarà una situazione in cui l'asintoto avrà un punto di intersezione con il grafico?[/quote]
Mi sono subito corretta, volevo sapere se concordavi?
Mi sono subito corretta, volevo sapere se concordavi?
Sì, ovvio.
Il fatto che il grafico non scavalchi l’asintoto dipende, essenzialmente, dal fatto che la funzione è ovunque convessa o ovunque concava nel suo dominio.
Il fatto che il grafico non scavalchi l’asintoto dipende, essenzialmente, dal fatto che la funzione è ovunque convessa o ovunque concava nel suo dominio.
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