Asintoto della funzione logaritmica
Potreste aiutarmi a capire come faccio a definire se si ha un'asintoto obliquo in questa funzione:
\(\displaystyle ln\left ( \frac{x^{2}-1}{x} \right ) \)
Io ho calcolato:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} ln\left ( \frac{x^{2}-1}{x} \right ) =\lim_{x\rightarrow +\infty} ln (x) = +\infty \)
Quindi può essere che esista l'asintoto obliquo e provo a trovare la m:
\(\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow +\infty} \left (\frac{ln\left ( \frac{x^{2}-1}{x} \right ) }{x} \right ) =\lim_{x\rightarrow +\infty} \left (\frac{ln(x)}{x} \right ) = 0 \)
Esce 0 perchè ln(x) è di ordine inferiore per x che tende ad infinito rispetto ad una retta y=x
A questo punto però non capisco cosa è perchè se il limite per x che tende a infinito fa infinito allora non c'è asintoto orizzontale ma può esserci quello obliquo però se la m esce 0 allora dovrebbe esserci quello orizzontale e non quello obliquo.
Qual è l'asintoto giusto o se non c'è come faccio a capirlo?
\(\displaystyle ln\left ( \frac{x^{2}-1}{x} \right ) \)
Io ho calcolato:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} ln\left ( \frac{x^{2}-1}{x} \right ) =\lim_{x\rightarrow +\infty} ln (x) = +\infty \)
Quindi può essere che esista l'asintoto obliquo e provo a trovare la m:
\(\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow +\infty} \left (\frac{ln\left ( \frac{x^{2}-1}{x} \right ) }{x} \right ) =\lim_{x\rightarrow +\infty} \left (\frac{ln(x)}{x} \right ) = 0 \)
Esce 0 perchè ln(x) è di ordine inferiore per x che tende ad infinito rispetto ad una retta y=x
A questo punto però non capisco cosa è perchè se il limite per x che tende a infinito fa infinito allora non c'è asintoto orizzontale ma può esserci quello obliquo però se la m esce 0 allora dovrebbe esserci quello orizzontale e non quello obliquo.
Qual è l'asintoto giusto o se non c'è come faccio a capirlo?
Risposte
La risposta è semplice: non c'è asintoto orizzontale (escluso dal primo limite) e non c'è asintoto obliquo (escluso da $m=0$), quindi non c'è nessun asintoto. Chiedi come capirlo: proprio con i calcoli che hai fatto.
Non pensare che sia un caso tanto strano: capita anche con $y=sqrtx$ (prova a fare i calcoli ed arriverai alle stesse conclusioni del tuo esercizio). Si tratta però di una curva che conosci; infatti questa formula equivale a
${(x=y^2),(y>=0):}$
L'equazione ti dice che è una parabola avente per asse l'asse $x$; la disequazione ti dice che te ne interessa la parte superiore e quindi puoi subito fare il disegno.
La tua curva, nella tendenza all'infinito, ha un andamento simile a quello di questa semi-parabola: sale illimitatamente, ma diventando sempre più orizzontale.
Non pensare che sia un caso tanto strano: capita anche con $y=sqrtx$ (prova a fare i calcoli ed arriverai alle stesse conclusioni del tuo esercizio). Si tratta però di una curva che conosci; infatti questa formula equivale a
${(x=y^2),(y>=0):}$
L'equazione ti dice che è una parabola avente per asse l'asse $x$; la disequazione ti dice che te ne interessa la parte superiore e quindi puoi subito fare il disegno.
La tua curva, nella tendenza all'infinito, ha un andamento simile a quello di questa semi-parabola: sale illimitatamente, ma diventando sempre più orizzontale.
OK grazie mille
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