Asintoti obliqui e orizzontali

[abaco90]

Ciao a tutti, ho un dubbio banale che devo risolvere:
se per una funzione ho asintoti orizzontali, è vero che di conseguenza non possono esistere asintoti obliqui?

[@melia]

Dipende. Se hai un asintoto orizzontale a $+oo$ potresti averne uno obliquo a $-oo$.
Condizione necessaria, ma non sufficiente, per l'esistenza dell'asintoto obliquo è che $lim_(x-> +-oo) f(x)= oo$

[abaco90]

Ciao Malia, grazie della risposta, un'altra cosa: e se ho asintoti orizzontali e verticali insieme? Posso avere asintoti obliqui?

[teorema55]

Normalmente asintoti orizzontali ed obliqui non coesistono. Come diceva @melia, la condizione

$ lim_ (x→∞) f(x)=∞ $

è necessaria ma non sufficiente per l'esistenza di un asintoto obliquo.

Se invece

$ lim_ (x→∞) f(x)=k $ con $k$ reale

avrai in generale l'asintoto orizzontale

$y=k$

Per il teorema dell'unicità del limite, l'una condizione esclude l'altra. L'esistenza di un asintoto verticale invece non influisce su quella degli altri due.

Non dimentichiamo però che una funzione può essere definita in modo diverso in intervalli diversi. La funzione

$y=1/(x-1)$ per $x<1$ e

$y=(2x^2 -2x+1)/(x-1)$ per $x>1$

ha l'asintoto orizzontale

$y=0 $ per $ x→-∞$

Ha l'asintoto verticale

$x=1$

ed ha l'asintoto obliquo

$y=2x+1 $ per $ x→+∞$

La matematica è bizzarra, no?

[abaco90]

Ottimo, capito tutto, grazie mille!

[StellaMartensitica]

Mi permetto di aggiungere un esempio di funzione che ha sia asintoti orizzontali che obliqui:
$f(x)= -x+sqrt(x^2-1)$
Ciao.

[teorema55]