Asintoti obliqui...
Ciao a tutti devo trovare l'asintoto obliquo della funzione $f(x)=xsqrt((2x+1)/(2x-1))$, molto semplice, solo che non mi trovo il risultato che riporta il libro... dunque per trovare l'asintoto di equazione $y=mx+q$ devo risolvere il limite $lim_(x->+-oo)f(x)/x=m$ quindi:
$lim_(x->+-oo)(xsqrt((2x+1)/(2x-1)))/x= $$lim_(x->+-oo)sqrt((2x+1)/(2x-1))= $$lim_(x->+-oo)sqrt((2x)/(2x))= 1$
per trovare $q$ devo fare $lim_(x->+-oo)(f(x)-mx)=q$ quindi:
$lim_(x->+-oo)xsqrt((2x+1)/(2x-1))-x=$ $lim_(x->+-oo)xsqrt((2x)/(2x))-x= x-x=0$...... invece il libro riporta $+1/2$
$lim_(x->+-oo)(xsqrt((2x+1)/(2x-1)))/x= $$lim_(x->+-oo)sqrt((2x+1)/(2x-1))= $$lim_(x->+-oo)sqrt((2x)/(2x))= 1$
per trovare $q$ devo fare $lim_(x->+-oo)(f(x)-mx)=q$ quindi:
$lim_(x->+-oo)xsqrt((2x+1)/(2x-1))-x=$ $lim_(x->+-oo)xsqrt((2x)/(2x))-x= x-x=0$...... invece il libro riporta $+1/2$
Risposte
Hai un limite nella forma indeterminata $\infty-\infty$. Non puoi dire che viene zero.
Prova a mettere la $x$ in evidenza e vedi se riconosci un limite notevole..
Prova a mettere la $x$ in evidenza e vedi se riconosci un limite notevole..
mettendo in evidenza quindi:
$lim_(x->+-oo)x(sqrt((2x+1)/(2x-1))-1)=$$lim_(x->+-oo)x[((2x+1)/(2x-1))^(1/2)-1]$
mi sembra di riconoscere il limite notevole: $lim_(x->0)(x^n-1)/x=n$ però mi manca una $x$ al denominatore se moltiplico per $x$ al numeratore e al denominatore ottengo:
$lim_(x->+-oo)(x^2[((2x+1)/(2x-1))^(1/2)-1])/x=1/2x^2$ e non mi trovo....
$lim_(x->+-oo)x(sqrt((2x+1)/(2x-1))-1)=$$lim_(x->+-oo)x[((2x+1)/(2x-1))^(1/2)-1]$
mi sembra di riconoscere il limite notevole: $lim_(x->0)(x^n-1)/x=n$ però mi manca una $x$ al denominatore se moltiplico per $x$ al numeratore e al denominatore ottengo:
$lim_(x->+-oo)(x^2[((2x+1)/(2x-1))^(1/2)-1])/x=1/2x^2$ e non mi trovo....
"domy90":
mi sembra di riconoscere il limite notevole: $lim_(x->0)(x^n-1)/x=n$
Questo non è un limite notevole..
Questo.. $\lim_{x->0}((1+x)^n-1)/x=n$
Tieni poi conto che $(2x+1)/(2x-1)=1+2/(2x-1)$
però mi manca una $x$ al denominatore moltiplico e divido per $x/x$. e mi esce $1/2x^2$... come devo fare per togliere questo $x^2$
Non è la $x$ che ti manca al denominatore, ma tutta la quantità $2/(2x-1)$, che è un infinitesimo per $x->infty$
ho capito......viene:
$lim_(x->oo)x*[((2x+1)/(2x-1))^(1/2)-1]=$$lim_(x->oo)x*([(1+2/(2x-1))^(1/2)-1])/(2/(2x-1))*2/(2x-1)=$ $lim_(x->oo)(1/2*(2x)/(2x-1))=$ $lim_(x->oo)(1/2*(2x)/(2x-1))=1/2$
$lim_(x->oo)x*[((2x+1)/(2x-1))^(1/2)-1]=$$lim_(x->oo)x*([(1+2/(2x-1))^(1/2)-1])/(2/(2x-1))*2/(2x-1)=$ $lim_(x->oo)(1/2*(2x)/(2x-1))=$ $lim_(x->oo)(1/2*(2x)/(2x-1))=1/2$
Ciao, ho un altro dubbio su un altro esercizio che non riesco a togliere... Devo sempre trovare un asintoto obliquo, con il risultato mi trovo in parte, vi spiego meglio...
Data la funzione $y=sqrt((x^3)/(x+1))$ devo trovare l'asintoto obliquo a $+oo$ e $-oo$... io l'ho risolto così:
$lim_(x->-oo)(sqrt((x^)/(x+1))/x)=$ $lim_(x->-oo)(sqrt((x^3)/(x+1)))1/x=$ $lim_(x->-oo)sqrt(1/(x^2)*(x^3)/(x+1))=$ $sqrt(1)=$ $1$ che è il coefficiente della x;
il termine noto sarà:
il $lim_(x->-oo)(sqrt((x^3)/(x+1))-x)=$ $lim_(x->-oo)(sqrt((x^3)/(x+1))-x)*((sqrt((x^3)/(x+1))+x))/((sqrt((x^3)/(x+1))+x))=lim_(x->-oo)(x^3-x^3-x^2)/(x+1)*1/(sqrt((x^3)/(x+1))+x)=$ $lim_(x->-oo)-x1/(xsqrt((x)/(x+1))+x)=$ $lim_(x->-oo)-x*1/(x(1+1))=-1/2$
quindi la retta $y=x-1/2$ è asintoto obliquo a $-oo$... Se vado a calcolare l'asintoto a $+oo$ mi esce lo stesso invece il libro dice che deve uscire $y=-x+1/2$ i limiti sono gli stessi solo che non ho capito dove sbaglio con i segni....
Data la funzione $y=sqrt((x^3)/(x+1))$ devo trovare l'asintoto obliquo a $+oo$ e $-oo$... io l'ho risolto così:
$lim_(x->-oo)(sqrt((x^)/(x+1))/x)=$ $lim_(x->-oo)(sqrt((x^3)/(x+1)))1/x=$ $lim_(x->-oo)sqrt(1/(x^2)*(x^3)/(x+1))=$ $sqrt(1)=$ $1$ che è il coefficiente della x;
il termine noto sarà:
il $lim_(x->-oo)(sqrt((x^3)/(x+1))-x)=$ $lim_(x->-oo)(sqrt((x^3)/(x+1))-x)*((sqrt((x^3)/(x+1))+x))/((sqrt((x^3)/(x+1))+x))=lim_(x->-oo)(x^3-x^3-x^2)/(x+1)*1/(sqrt((x^3)/(x+1))+x)=$ $lim_(x->-oo)-x1/(xsqrt((x)/(x+1))+x)=$ $lim_(x->-oo)-x*1/(x(1+1))=-1/2$
quindi la retta $y=x-1/2$ è asintoto obliquo a $-oo$... Se vado a calcolare l'asintoto a $+oo$ mi esce lo stesso invece il libro dice che deve uscire $y=-x+1/2$ i limiti sono gli stessi solo che non ho capito dove sbaglio con i segni....
"domy90":
$lim_(x->-oo)(sqrt((x^)/(x+1))/x)=$ $lim_(x->-oo)(sqrt((x^3)/(x+1)))1/x=$ $lim_(x->-oo)sqrt(1/(x^2)*(x^3)/(x+1))=$ $sqrt(1)=$ $1$ che è il coefficiente della x;
Quando porti la $x$ sotto radice non ne studi il segno...
non l'ho fatto perchè pensavo che si studiava solo quando si estrae $x$ dalla radice, anche perchè ho pensato che sotto radice abbiamo $sqrt((x^3)/(x^3))$ quindi il rapporto è meno su meno quindi $+$...ho sbagliato qua?
Aspetta, ora mi sono accorto che hai anche invertito il problema. Ricapitolando: per $ x -> +oo$ l'asintoto ha coefficiente angolare positivo, mentre per $x -> -oo$ il coefficiente angolare è negativo.
$lim_(x->-oo)(sqrt((x^3)/(x+1))/x)$
Appare evidente se si considera che la funzione di cui si deve calcolare il limite è $sqrt((x^3)/(x+1))$ che moltiplica $1/x$. La prima parte è $>= 0$, $AA x in RR$. Il fattore $1/x$ ha segno negativo in un intorno di $-oo$, quindi il prodotto non potrà mai avere limite $+oo$ per $x -> -oo$.
$lim_(x->-oo)(sqrt((x^3)/(x+1))/x)$
Appare evidente se si considera che la funzione di cui si deve calcolare il limite è $sqrt((x^3)/(x+1))$ che moltiplica $1/x$. La prima parte è $>= 0$, $AA x in RR$. Il fattore $1/x$ ha segno negativo in un intorno di $-oo$, quindi il prodotto non potrà mai avere limite $+oo$ per $x -> -oo$.
se ho capito bene il limite è sempre negativo per $x->-oo$... calcolando si ha:
$lim_(x->-oo)1/x*sqrt((x^3)/(x+1))$ adesso il termine $1/x$ in un intorno di $-oo$ è negativo quindi:
$lim_(x->-oo)-1/x*sqrt((x^3)/(x+1))=$ $lim_(x->-oo)-sqrt(1/(x^2)*(x^3)/(x+1))=$ $lim_(x->-oo)-sqrt((x^3)/(x^3))=$ $-sqrt1=-1$.. e il discorso lo estendo anche per $x->+oo$ e al termine noto...
$lim_(x->-oo)1/x*sqrt((x^3)/(x+1))$ adesso il termine $1/x$ in un intorno di $-oo$ è negativo quindi:
$lim_(x->-oo)-1/x*sqrt((x^3)/(x+1))=$ $lim_(x->-oo)-sqrt(1/(x^2)*(x^3)/(x+1))=$ $lim_(x->-oo)-sqrt((x^3)/(x^3))=$ $-sqrt1=-1$.. e il discorso lo estendo anche per $x->+oo$ e al termine noto...
Sì, l'idea è giusta. Io, al posto di [tex]$\lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{x} \cdot \sqrt{\frac{x^3}{x+1}}$[/tex], scriverei:
[tex]$\lim_{x \to - \infty} \frac{1}{-|x|} \cdot \sqrt{\frac{x^3}{x+1}}$[/tex]
[tex]$\lim_{x \to - \infty} \frac{1}{-|x|} \cdot \sqrt{\frac{x^3}{x+1}}$[/tex]
ok!!!! grazie mille!!!!!!!!!!!!!!!!
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