Asintoti?
Ciao ragazzi, ho un grandissimo bisogno di aiuto:
vorrei sapere cosa sono gli asintoti, quanti tipi esistono e come li posso individuare in una funzione (per esempio in questa: y=3x alla 2/x-1)
vorrei sapere cosa sono gli asintoti, quanti tipi esistono e come li posso individuare in una funzione (per esempio in questa: y=3x alla 2/x-1)
Risposte
benvenuto nel forum.
innanzitutto gli asintoti sono rette (quindi possono essere solo orizzontali, verticali, oblique), dette anche "tangenti all'infinito", che approssimano il grafico della funzione per x oppure y che tendono all'infinito. se tu hai y in funzione di x, facendo il limite per x che tende ad un valore finito, c'è asintoto verticale se e solo se il limite è infinito (o lo è almeno uno dei due limiti destro o sinistro). se fai il limite per x che tende all'infinito, hai asintoto orizzontale se e solo se tale limite è finito (ci può essere qualche caso particolare di funzione oscillante tipo $y=(senx)/x$ per cui l'asse x si considera asintoto secondo questa definizione anche se etimologicamente non lo sarebbe: il grafico dovrebbe avvicinarsi alla retta senza toccarla, contrariamente a tale esempio in cui il grafico attraversa l'asse x infinite volte).
se il limite per x che tende all'infinito è infinito è certo che non c'è asintoto orizzontale, mentre può esserci asintoto obliquo (di equazione $y=mx+q$, dove m e q si possono trovare con ben determinati limiti che dovresti sapere o saper ricercare nel libro di testo): c'è asintoto obliquo se i limiti che ti fanno trovare m e q esistono e sono finiti (entrambi), con m in più diverso da zero (perché potrebbe anche essere zero nonostante sia infinito il limite della funzione: in tal caso non c'è asintoto né orizzontale né obliquo. vedi ad esempio le funzioni $y=logx$ o $y=sqrt(x)$ ).
nel tuo caso c'è asintoto obliquo perché la differenza tra il grado del numeratore e quello del denominatore è 1: nel caso di funzioni razionali l'asintoto si può trovare anche eseguendo la divisione. l'asintoto sarà y=quoziente. inoltre c'è un asintoto verticale (x=1): prova.
l'esistenza dell'asintoto obliquo esclude l'esistenza dell'asintoto orizzontale (in generale), a parte quando si calcolano separatemente i limiti per x che tende a +infinito e a -infinito, e i risultati sono diversi.
spero di essere stata chiara. la teoria però devi studiarla. ciao.
innanzitutto gli asintoti sono rette (quindi possono essere solo orizzontali, verticali, oblique), dette anche "tangenti all'infinito", che approssimano il grafico della funzione per x oppure y che tendono all'infinito. se tu hai y in funzione di x, facendo il limite per x che tende ad un valore finito, c'è asintoto verticale se e solo se il limite è infinito (o lo è almeno uno dei due limiti destro o sinistro). se fai il limite per x che tende all'infinito, hai asintoto orizzontale se e solo se tale limite è finito (ci può essere qualche caso particolare di funzione oscillante tipo $y=(senx)/x$ per cui l'asse x si considera asintoto secondo questa definizione anche se etimologicamente non lo sarebbe: il grafico dovrebbe avvicinarsi alla retta senza toccarla, contrariamente a tale esempio in cui il grafico attraversa l'asse x infinite volte).
se il limite per x che tende all'infinito è infinito è certo che non c'è asintoto orizzontale, mentre può esserci asintoto obliquo (di equazione $y=mx+q$, dove m e q si possono trovare con ben determinati limiti che dovresti sapere o saper ricercare nel libro di testo): c'è asintoto obliquo se i limiti che ti fanno trovare m e q esistono e sono finiti (entrambi), con m in più diverso da zero (perché potrebbe anche essere zero nonostante sia infinito il limite della funzione: in tal caso non c'è asintoto né orizzontale né obliquo. vedi ad esempio le funzioni $y=logx$ o $y=sqrt(x)$ ).
nel tuo caso c'è asintoto obliquo perché la differenza tra il grado del numeratore e quello del denominatore è 1: nel caso di funzioni razionali l'asintoto si può trovare anche eseguendo la divisione. l'asintoto sarà y=quoziente. inoltre c'è un asintoto verticale (x=1): prova.
l'esistenza dell'asintoto obliquo esclude l'esistenza dell'asintoto orizzontale (in generale), a parte quando si calcolano separatemente i limiti per x che tende a +infinito e a -infinito, e i risultati sono diversi.
spero di essere stata chiara. la teoria però devi studiarla. ciao.
"adaBTTLS":
benvenuto nel forum.
innanzitutto gli asintoti sono rette (quindi possono essere solo orizzontali, verticali, oblique), dette anche "tangenti all'infinito", che approssimano il grafico della funzione per x oppure y che tendono all'infinito. se tu hai y in funzione di x, facendo il limite per x che tende ad un valore finito, c'è asintoto verticale se e solo se il limite è infinito (o lo è almeno uno dei due limiti destro o sinistro). se fai il limite per x che tende all'infinito, hai asintoto orizzontale se e solo se tale limite è finito (ci può essere qualche caso particolare di funzione oscillante tipo $y=(senx)/x$ per cui l'asse x si considera asintoto secondo questa definizione anche se etimologicamente non lo sarebbe: il grafico dovrebbe avvicinarsi alla retta senza toccarla, contrariamente a tale esempio in cui il grafico attraversa l'asse x infinite volte).
se il limite per x che tende all'infinito è infinito è certo che non c'è asintoto orizzontale, mentre può esserci asintoto obliquo (di equazione $y=mx+q$, dove m e q si possono trovare con ben determinati limiti che dovresti sapere o saper ricercare nel libro di testo): c'è asintoto obliquo se i limiti che ti fanno trovare m e q esistono e sono finiti (entrambi), con m in più diverso da zero (perché potrebbe anche essere zero nonostante sia infinito il limite della funzione: in tal caso non c'è asintoto né orizzontale né obliquo. vedi ad esempio le funzioni $y=logx$ o $y=sqrt(x)$ ).
nel tuo caso c'è asintoto obliquo perché la differenza tra il grado del numeratore e quello del denominatore è 1: nel caso di funzioni razionali l'asintoto si può trovare anche eseguendo la divisione. l'asintoto sarà y=quoziente. inoltre c'è un asintoto verticale (x=1): prova.
l'esistenza dell'asintoto obliquo esclude l'esistenza dell'asintoto orizzontale (in generale), a parte quando si calcolano separatemente i limiti per x che tende a +infinito e a -infinito, e i risultati sono diversi.
spero di essere stata chiara. la teoria però devi studiarla. ciao.
sei stata chiarissima. tuttavia non ho ben capito il concetto di limite e cosa devo fare
quando pongo x che tende a infinito: devo sostituire infinito alla x?
se non hai studiato i limiti, forse non puoi sapere la trattazione degli asintoti.
che classe fai?
forse puoi pensare alla legge dell'inversa proporzionalità ($x*y=k " costante " -> y=k/x$ ) e agli asintoti x=0 e y=0, o agli asintoti di una qualsiasi iperbole (ti conviene considerare il caso un'iperbole con centro nell'origine, riferita ai suoi assi).
nell'esempio semplice dell'inversa proporzionalità puoi provare a vedere quanto vale la y se alla x sostituisci valori sempre più grandi (tendenti, appunto, all'infinito) o sempre più piccoli in modulo (tendenti a zero).
per gli asintoti obliqui è un po' più complicato: prova però a fare la divisione tra numeratore e denominatore della tua funzione iniziale ( $y=(3x^2)/(x-1)$: era questa?) e prova a rappresentare la retta di equazione y=quoziente... (dovrebbe essere $y=3x+3$) e prova a vedere a quanto tende la differenza $y=(3x^2)/(x-1)-(3x+3)$ al tendere di x all'infinito. ciao.
che classe fai?
forse puoi pensare alla legge dell'inversa proporzionalità ($x*y=k " costante " -> y=k/x$ ) e agli asintoti x=0 e y=0, o agli asintoti di una qualsiasi iperbole (ti conviene considerare il caso un'iperbole con centro nell'origine, riferita ai suoi assi).
nell'esempio semplice dell'inversa proporzionalità puoi provare a vedere quanto vale la y se alla x sostituisci valori sempre più grandi (tendenti, appunto, all'infinito) o sempre più piccoli in modulo (tendenti a zero).
per gli asintoti obliqui è un po' più complicato: prova però a fare la divisione tra numeratore e denominatore della tua funzione iniziale ( $y=(3x^2)/(x-1)$: era questa?) e prova a rappresentare la retta di equazione y=quoziente... (dovrebbe essere $y=3x+3$) e prova a vedere a quanto tende la differenza $y=(3x^2)/(x-1)-(3x+3)$ al tendere di x all'infinito. ciao.
"adaBTTLS":
se non hai studiato i limiti, forse non puoi sapere la trattazione degli asintoti.
che classe fai?
forse puoi pensare alla legge dell'inversa proporzionalità ($x*y=k " costante " -> y=k/x$ ) e agli asintoti x=0 e y=0, o agli asintoti di una qualsiasi iperbole (ti conviene considerare il caso un'iperbole con centro nell'origine, riferita ai suoi assi).
nell'esempio semplice dell'inversa proporzionalità puoi provare a vedere quanto vale la y se alla x sostituisci valori sempre più grandi (tendenti, appunto, all'infinito) o sempre più piccoli in modulo (tendenti a zero).
per gli asintoti obliqui è un po' più complicato: prova però a fare la divisione tra numeratore e denominatore della tua funzione iniziale ( $y=(3x^2)/(x-1)$: era questa?) e prova a rappresentare la retta di equazione y=quoziente... (dovrebbe essere $y=3x+3$) e prova a vedere a quanto tende la differenza $y=(3x^2)/(x-1)-(3x+3)$ al tendere di x all'infinito. ciao.
nel mio esempio (y=3x alla 2/x-1) dopo aver trovato il D:tutte le x appartenenti a R -(1) dico che l'asintoto verticale è 1 ':smt120' e per trovare l'asintoto orizzontale vado a sostituire x che tende a infinito...giusto?':smt017'
vai a vedere a quanto tende la y se x tende a infinito... sì, ...............
ma il risultato è infinito, perché non c'è asintoto orizzontale (il grado del num è maggiore del grado del den).
secondo la regola devi fare il limite di [f(x)/x] per trovare il coefficiente angolare (m) e poi il limite di [f(x)-mx] per trovare la quota (q)...
tali limiti sempre per x che tende all'infinito. però in caso di funzioni razionali ti ho scritto che puoi fare in maniera più semplice ...
e ti ho anche scritto il risultato: y=3x+3 (asintoto obliquo) .....
quanto all'asintoto verticale, è vero che è "possibile" x=1 perché il dominio è R-{1}, però va verificato che sia infinito il limite per x che tende a 1.
è chiaro? ciao.
ma il risultato è infinito, perché non c'è asintoto orizzontale (il grado del num è maggiore del grado del den).
secondo la regola devi fare il limite di [f(x)/x] per trovare il coefficiente angolare (m) e poi il limite di [f(x)-mx] per trovare la quota (q)...
tali limiti sempre per x che tende all'infinito. però in caso di funzioni razionali ti ho scritto che puoi fare in maniera più semplice ...
e ti ho anche scritto il risultato: y=3x+3 (asintoto obliquo) .....
quanto all'asintoto verticale, è vero che è "possibile" x=1 perché il dominio è R-{1}, però va verificato che sia infinito il limite per x che tende a 1.
è chiaro? ciao.
grazie adaBTLLS per il tuo aiuto, non so come ringraziarti 
il mio prof ha detto che quando pongo x che tende a infinito devo andare a mettere in evidenza la x o roba del genere... potresti chiarirmi questo passaggio sempre attraverso l'esempio y=3x alla 2/x-1?
grazie ancora
il mio prof ha detto che quando pongo x che tende a infinito devo andare a mettere in evidenza la x o roba del genere... potresti chiarirmi questo passaggio sempre attraverso l'esempio y=3x alla 2/x-1?
grazie ancora
$y=(3x^2)/(x-1)$ diventa $y=(3x^2)/[x(1-1/x)]$. E quindi,semplificando, $y=(3x)/(1-1/x)$ Se x tende ad infinito, $1/x$ tende a zero e quindi la funzione tende ad infinito.
... prego ...
ora ti ha risposto kekko89... penso che ti abbia detto quello che volevi sapere...
però mi è rimasto un dubbio: a che livello stai studiando gli asintoti?
ora ti ha risposto kekko89... penso che ti abbia detto quello che volevi sapere...
però mi è rimasto un dubbio: a che livello stai studiando gli asintoti?
"adaBTTLS":
... prego ...
ora ti ha risposto kekko89... penso che ti abbia detto quello che volevi sapere...
però mi è rimasto un dubbio: a che livello stai studiando gli asintoti?
frequento la quarta e attalmente oltre al programma di questo anno sto studiando anche quello per l'anno prossimo chiedendo consiglio al mio prof
cmq grazie a tutti siete stati molto gentili
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