Argomento------>posizione reciproca tra retta e circonferenza

[indovina]

Salve a tutti:
Problema:
Determinare le tangenti alla circonferenza x*2+y*2-x+3y=0 parallele alla retta y=3x.
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Determinare le equazioni delle circonferenze, tangenti all'asse x, sapendo che passono per il punto(3;3) e che hanno il centro sulla retta 1/2x+1/3y-4=0.

[Pillaus]

Intanto, la circonferenza ha centro C(1/2,-3/2) e raggio radicedi(5/2), le rette che tu cerchi, dovendo essere tangenti a una circonferenza, hanno distanza dal centro della circonferenza proprio uguale al raggio. Imponendo questo hai:

|yc - m xc - q|/radicedi(m^2 + 1) = radicedi(5/2)

tu vuoi che m = 3 (in questo modo le rette sono parallele a y=3x) e ti ricavi q

|-3/2 - 3/2 - q| = radicedi(5/2) * radicedi(10)

|q + 3| = 5

q = -3 piùomeno 5

quindi le rette sono y = 3x + 2 e y = 3x -8

[Pillaus]

Scriviamo le equazioni nella forma (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
tu vuoi che il centro sia su quella retta, quindi
a/2 + b/3 = 4
La circonferenza deve essere tangente all'asse x, cioè la distanza del centro dall'asse x (modulo dell'ordinata) deve essere uguale al raggio, quindi
r = |b|
poi, passano per il punto (3;3), quindi

(3-a)^2 + (3-b)^2 = b^2

Mettendo a sistema la prima eq con l'ultima hai

a = 8 - 2/3 b

(3 - 8 + 2/3 b )^2 + (3-b)^2 = b^2
(2/3 b - 5)^2 + (3-b)^2 = b^2
4/9 b^2 - 20/3 b + 25 + 9 - 6b + b^2 = b^2
4/9 b^2 - 38/3 b + 34 = 0
2b^2 - 57b + 153 = 0

dunque b = (57 piùomeno radicedi(3249 - 4*2*153))/4
b = (57 piùomeno 45)/4
b = 51/2, oppure b=3

dunque a = -9 oppure a = 6

Quindi le circonferenze sono
(x+9)^2 + (y-51/2)^2 = (51/2)^2
(x-6)^2 + (y-3)^2 = 9

[indovina]

Primaditutto grazie per aver risolto i problemi.
Ciao.