Aree e determinanti

[giuseppe87x]

Esiste un'equazione simile a quella usata per i parallelogrammi che fa uso dei determinanti per calcolare l'area di un triangolo conoscendo i suoi vertici in un sdr cartesiano?

Grazie.

[TomSawyer1]

LA puoi calcolare con la formula di Erone. Come mai ti serve proprio una coi determinanti?

[giuseppe87x]

Per utilizzare la formula di Erone devi conoscere la misura dei lati. A me serve una formula che sfrutti le coordinate cartesiane.

[TomSawyer1]

La puoi trovare senza difficoltà la lunghezza dei lati. Pitagora...

[Sk_Anonymous]

Dati i vertici $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),P_3(x_3,y_3)$, l'area del triangolo è data da:

$A=+-1/2((x_3-x_1,y_3-y_1),(x_2-x_1,y_2-y_1))$

dove davanti al det prendiamo il segno +o -, a seconda che il suo valore sia positivo o negativo

[giuseppe87x]

Si ma nel mio caso il procedimento diventa alquanto prolisso con tutti quei calcoli. Insomma non sai se c'è una formula con i determinanti?
A me sembra di ricordare vagamente che una volta il mio ex prof la utilizzò ma non ne sono molto sicuro...

[giuseppe87x]

Ecco è proprio quella che cercavo...grazie Enea!

[Camillo]

L'area di un triangolo ABC è metà di quella del parallelogramma ABCD avente come lati AB, AC e CD = AB ; BD = AC.
L'area del parallelogramma è pari al modulo del prodotto vettoriale tra i due vettori AB, AC che , usando la notazione dei post precedenti hanno componenti :

$AB = (x_2-x_1,y_2-y_1) $
$ AC = (x_3-x_1, y_3-y_1) $ .
Ricordando che il prodotto vettoriale di 2 vettori a , b (lo indicherò con a vett b) è dato da :

$ a $ vett $ b = det [(i ,j,k),( a1,a2,a3), (b1,b2,b3)] $ l'area del triangolo ABC sarà allora :
$(1/2)| det [( i,j,k ) , ( x_2-x_1 ,x_3-x_1,0) ,(y_2-y_1,y_3-y_1,0)] | = (1/2) | (x_2-x_1)(y_3-y_1)-(y_2-y_1)(x_3-x_1) | $

[giuseppe87x]

Grazie per la dimostrazione Camillo.