Aree delimitate da due ellissi
Il problema è il seguente:
1)Viene richiesto di trasformare la curva $E: 3x^2+8xy+6y^2-2=0$ mediante un'affinità assegnata.
2)Riconoscere che E è un'ellisse
3)calcolare l'area delle regioni D e D' delimitate da E' e da E
Punto1. Facendo i calcoli viene l'ellisse $E': x'^2+2y'^2-2=0$ e fin qui mi trovo.
Come si fa a risolvere il punto 2 e 3 senza aver fatto ancora l'argomento della riduzione a forma canonica delle coniche(tale argomento sta nel capitolo successivo del libro)?
Il punto 2 si potrebbe risolvere dicendo che siccome la trasformazione inversa(che è ancora un'affinità) manda E' in E e in generale un'affinità trasforma ellissi in ellissi allora per forza E' è un'ellisse.
Ma il punto 3 come faccio a risolverlo?
1)Viene richiesto di trasformare la curva $E: 3x^2+8xy+6y^2-2=0$ mediante un'affinità assegnata.
2)Riconoscere che E è un'ellisse
3)calcolare l'area delle regioni D e D' delimitate da E' e da E
Punto1. Facendo i calcoli viene l'ellisse $E': x'^2+2y'^2-2=0$ e fin qui mi trovo.
Come si fa a risolvere il punto 2 e 3 senza aver fatto ancora l'argomento della riduzione a forma canonica delle coniche(tale argomento sta nel capitolo successivo del libro)?
Il punto 2 si potrebbe risolvere dicendo che siccome la trasformazione inversa(che è ancora un'affinità) manda E' in E e in generale un'affinità trasforma ellissi in ellissi allora per forza E' è un'ellisse.
Ma il punto 3 come faccio a risolverlo?
Risposte
"lupomatematico":
Come si fa a risolvere il punto 2 e 3 senza aver fatto ancora l'argomento della riduzione a forma canonica delle coniche(tale argomento sta nel capitolo successivo del libro)?
Sapendo come è costituita in generale l'equazione di un'ellisse direi...
EDIT: Stavo dicendo una mezza idiozia...
P.S.:Che calcoli hai fatto?
Si tratta di un problema di quarto scientifico.
La cosa strana è la seguente: l'area dell'ellisse E' è uguale a $sqrt(2)pi$. Siccome l'affinità in questione $x'=-x-2y ; y'=x+y$ ha coefficiente k=1 allora anche l'are dell'ellisse E è uguale a $sqrt(2)pi$. Il libro come risultato mette $areaD=areaD'=sqrt(2)pi$. Non vorrei che con la richiesta "calcolare le aree delle regioni D' e D delimitate da E' e da E' intendesse calcolare semplicemente l'area delle due ellissi.
La cosa strana è la seguente: l'area dell'ellisse E' è uguale a $sqrt(2)pi$. Siccome l'affinità in questione $x'=-x-2y ; y'=x+y$ ha coefficiente k=1 allora anche l'are dell'ellisse E è uguale a $sqrt(2)pi$. Il libro come risultato mette $areaD=areaD'=sqrt(2)pi$. Non vorrei che con la richiesta "calcolare le aree delle regioni D' e D delimitate da E' e da E' intendesse calcolare semplicemente l'area delle due ellissi.
Sicuramente il libro intendeva quello o almeno credo...
Sì avevo frainteso la questione... ma allora se lo sai fare il problema qual è?
Sì avevo frainteso la questione... ma allora se lo sai fare il problema qual è?
Il problema stava proprio in quelle "aree delimitate dalle due ellissi" poichè in altri problemi effettivamente con quella richiesta il libro chiedeva l'area compresa fra due curve(ad esempio in un problema c'era l'area fra una parabola e una circonferenza , in un altro quella fra un'ellisse e una circonferenza).
Cioè tu in quarta liceo sai fare già gli integrali??? 
Senza integrali risolvere questo tipo di problema è praticamente impossibile...
Senza integrali risolvere questo tipo di problema è praticamente impossibile...
L'nterpretazione piu' giusta e' che si chieda l'area limitata da ciascuna ellisse,
ognuna considerata indipendentemente dall'altra.
Ora ,poiche' la costante di affinita' e' 1 (ricavata dalle equazioni dell'affinita') , il rapporto delle
aree delle due curve e' pure 1 e dunque E ed E' hanno la stessa area $ pisqrt(2)$.
L'altra interpretazione,e cioe' quella di trovare l'area compresa tra di esse,e' poco credibile
dato che si trovano in riferimenti cartesiani diversi.
karl
ognuna considerata indipendentemente dall'altra.
Ora ,poiche' la costante di affinita' e' 1 (ricavata dalle equazioni dell'affinita') , il rapporto delle
aree delle due curve e' pure 1 e dunque E ed E' hanno la stessa area $ pisqrt(2)$.
L'altra interpretazione,e cioe' quella di trovare l'area compresa tra di esse,e' poco credibile
dato che si trovano in riferimenti cartesiani diversi.
karl
In alcuni casi non c'è bisogno della conoscenza degli integrali,basta semplicemente studiarsi bene il disegno delle curve e conoscere come si calcola un settore circolare ,un segmento circolare, la regola di archimede per i segmenti parabolici etc. etc. Ovviamente gli autori non sono così pazzi da proporre sui libri di quarto problemi in cui è necessaria la conoscenza degli integrali............
"karl":
L'nterpretazione piu' giusta e' che si chieda l'area limitata da ciascuna ellisse,
ognuna considerata indipendentemente dall'altra.
Ora ,poiche' la costante di affinita' e' 1 (ricavata dalle equazioni dell'affinita') , il rapporto delle
aree delle due curve e' pure 1 e dunque E ed E' hanno la stessa area $ pisqrt(2)$.
L'altra interpretazione,e cioe' quella di trovare l'area compresa tra di esse,e' poco credibile
dato che si trovano in riferimenti cartesiani diversi.
karl
E' la prima l'interpretazione giusta.
Lo scopo dell'esercizio è proprio quello di ribadire l'importanza del determinante di un'applicazione
affine.
Francesco Daddi
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