Area triangolo - Trigonometria

[Gatto891]

Propongo un quesito carino trovato in un test (oggi lo stavamo facendo gli ultimi 5 minuti di corso e sono venute fuori 3 risposte diverse compresa quella della prof ):

Si consideri un triangolo qualsiasi T con due lati di lunghezza rispettivamente $a$ e $b$ e l'angolo opposto al lato di lunghezza $a$ di ampiezza $\alpha$. Quanto vale l'area di T?

a) Le altre risposte sono sbagliate.

b) $ab\cdot tg\alpha$

c) $ab\cdot sin\alpha$

d) $1/2ab\cdot cos\alpha$

e) I dati non sono sufficienti per risolvere il problema.

[@melia]

Scrivo la mia risposta nascosta, se qualcun altro vuole cimentarsi...

la risposta è e in quanto è l'unico caso nei triangoli in cui con tre dati, che non siano i tre angoli, non è possibile individuare il triangolo in modo univoco. A seconda del rapporto tra $a$ e $b$ si possono ottenere 2 triangoli, un unico triangolo con un angolo retto o nessun triangolo reale. Avendo i tre lati è possibile che il triangolo non esista, ma non è possibile che ce ne siano due che verificano i dati e abbiano aree diverse

[Gatto891]

Spoilero due domande su quello che hai detto:

Ricavarsi il lato $c$ con Carnot $a^2 = b^2 + c^2 -2bc cos\alpha$ e poi successivamente l'area con un qualunque mezzo (erone, o semiprodotto dei due lati per il seno dell'angolo compreso) non si può fare perchè in Carnot viene un'equazione di secondo grado e quindi il lato non è determinato univocamente e ci sono due possibilità?

Similmente, ricavandosi $sin\beta$ con il teorema dei seni e poi ricavarsi il terzo angolo non si può fare perchè un seno non identifica univocamente un angolo?

Grazie mille

[@melia]

Infatti

devi ricavarti $c$ e possono esserci due soluzioni accettabili, così pure ricavando in seno di gamma. Per capire meglio prova a fare la figura.
Chiamerò $A$ il vertice di angolo $alpha$ con lato opposto di misura $a$.
Traccia il lato $AC$ e la retta contenente il lato $ AB$, che forma con AC l'angolo $alpha$. Adesso prendi un compasso di apertura $a$, puntalo in $C$ e traccia la circonferenza. Se $alpha<90°$ la circonferenza può intersecare la retta di $AB$ in due punti distinti che generano due triangoli con aree diverse.

[Gatto891]

"@melia":Infatti

devi ricavarti $c$ e possono esserci due soluzioni accettabili, così pure ricavando in seno di gamma. Per capire meglio prova a fare la figura.
Chiamerò $A$ il vertice di angolo $alpha$ con lato opposto di misura $a$.
Traccia il lato $AC$ e la retta contenente il lato $ AB$, che forma con AC l'angolo $alpha$. Adesso prendi un compasso di apertura $a$, puntalo in $C$ e traccia la circonferenza. Se $alpha<90°$ la circonferenza può intersecare la retta di $AB$ in due punti distinti che generano due triangoli con aree diverse.

Ok è la dimostrazione perfetta per evitare dubbi di chiunque domani

[kekko989]

l'area del triangolo vale

$(bcsen(alpha))/2$ giusto?quindi devo conoscere c..

[Gatto891]

"kekko89":l'area del triangolo vale

$(bcsen(alpha))/2$ giusto?quindi devo conoscere c..

Si, semiprodotto dei due lati per il seno dell'angolo compreso.

[valerio cavolaccio]

si manca un lato perchè il triangolo non è determinato

[Sk_Anonymous]

Secondo me con questi dati il triangolo non è univocamente determinato. Il testo del problema dovrebbe dire qulacosa in piu sull'angolo.

[adaBTTLS1]

ormai si è già detto da più parti che la risposta corretta è la e)... non mi preoccupo dello spoiler.

però i due triangoli distinti si possono trovare se e solo se $(alpha
supponendo di conoscere $a,b,alpha$, se quanto detto non è verificato, cioè se ($alpha>=pi/2 vv a>=b$), allora varrebbe la a):
infatti in tal caso l'area si potrebbe determinare, ma con una formula diversa da ciascuna di quelle riportate nelle altre risposte b), c), d):
ad esempio $"Area"=1/2*b*c*sen(alpha)$, dopo aver determinato $c$ con il teorema di Carnot.

ciao.