Area triangolo con equazioni esplicite
Siano $r$ ed $t$ rette di equazione, rispettivamente, $Y=x+2$ e $x=k$ con $k>=1$. Sian inoltre, $s$ la retta perpendicolare ad $r$ e passante per il punto $P(1,3)$. Per quale $k>=1$ l'area del triangolo $r$, $s$ e $t$ è pari a $9$?
per prima cosa mi sono cercata i punti di $r$ e l'ho disegnata, poi mi sono cercata l'equazione di $s$ utilizzando la formula $y-y_(0)=-(1)/(m)(x-x_(0))$ e ho ottenuto $y=-x+4$......
....il mio dubbio è : se ho ottenuto un triangolo rettangolo con base $r$ e altezza $s$ come proseguo il problema?
ho provato a mettere a sistema:
${(y=x+2),(x=k):}$
e poi
${(y=-x+4),(x=k):}$
però dall'equazione che ottengo dalla formula $(b*h)/(2)=9$, cioè $-k^2+2k-10=0$ il $Delta=-36$ come è possibile? dove sbaglio?
per prima cosa mi sono cercata i punti di $r$ e l'ho disegnata, poi mi sono cercata l'equazione di $s$ utilizzando la formula $y-y_(0)=-(1)/(m)(x-x_(0))$ e ho ottenuto $y=-x+4$......
....il mio dubbio è : se ho ottenuto un triangolo rettangolo con base $r$ e altezza $s$ come proseguo il problema?
ho provato a mettere a sistema:
${(y=x+2),(x=k):}$
e poi
${(y=-x+4),(x=k):}$
però dall'equazione che ottengo dalla formula $(b*h)/(2)=9$, cioè $-k^2+2k-10=0$ il $Delta=-36$ come è possibile? dove sbaglio?
Risposte
Scusa, ma non si era già risolto questo problema tempo fa?
http://www.matematicamente.it/forum/area-triangolo-dato-da-tre-rette-t85660.html?hilit=triangolo#p582172
http://www.matematicamente.it/forum/area-triangolo-dato-da-tre-rette-t85660.html?hilit=triangolo#p582172
scusa non l'avevo visto e comunque quando postai quell'argomento ancora non avevo studiato bene la teoria... però adesso vorrei chiederti una cosa: essendo che ho le equazioni di tutte e tre le rette come mi trovo i punti?
scusate ma a me il grafico è venuto diverso da quello che mi ha postato chiaraotta..
la retta $r$ mi è venuta cosi: \ mentre la retta $s$ è / perchè di equazione $y=-x+4$ è giusto il mio grafico?
la retta $r$ mi è venuta cosi: \ mentre la retta $s$ è / perchè di equazione $y=-x+4$ è giusto il mio grafico?
Se l'equazione di $r$ è $y=x+2$, allora la retta è parallela alla bisettrice del 1° e del 3° quadrante e taglia l'asse $y$ in $(0, 2)$.
mmh....allora il mio sbaglio sta nel fatto che poi ho continuato con il sistema ${(y=x+2),(y=0):}$ ma quindi per calcolarmi la distanza tra due punti devo prendere in considerazione il punto $(0,2)$ e poi da dove lo prendo l'altro punto?
Se fai sistema fra la retta $r$ e l'asse $x$, trovi il punto $(-2, 0)$ in cui $r$ taglia l'asse $x$.
scusa ma non ho capito bene come ti trovi il punto $(-2,0)$
scusami la retta $s$ che ha come equazione $y=-x+4$ non la devo mettere a sistema cosi ${(y=-x+4),(x=0):}$ per poterla disegnare sul grafico?
scusami la retta $s$ che ha come equazione $y=-x+4$ non la devo mettere a sistema cosi ${(y=-x+4),(x=0):}$ per poterla disegnare sul grafico?
Per disegnare una retta basta individuarne due punti. Una scelta comoda di solito è quella di cercare le intersezioni con gli assi cartesiani.
Ponendo $x=0$ nell'equazione si trova l'intersezione con l'asse $y$ e ponendo $y=0$ l'intersezione con l'asse $x$.
Quindi la retta $r$ di equazione $y=x+2$ taglia gli assi coordinati nei punti $(0, 2)$ e $(-2, 0)$.
La retta $s$ di equazione $y=-x+4$ taglia gli assi coordinati nei punti $(0, 4)$ e $(4, 0)$.
Ponendo $x=0$ nell'equazione si trova l'intersezione con l'asse $y$ e ponendo $y=0$ l'intersezione con l'asse $x$.
Quindi la retta $r$ di equazione $y=x+2$ taglia gli assi coordinati nei punti $(0, 2)$ e $(-2, 0)$.
La retta $s$ di equazione $y=-x+4$ taglia gli assi coordinati nei punti $(0, 4)$ e $(4, 0)$.
a me la ah ok....cosi come ho fatto io....questo però è solo per poterle disegnare!!!! quello che vorrei capire e se per poter calcolarmi la distanza tra due punti devo fare cosi
$sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)=$ utilizzando i punti $(0,2), (-2,0)$ e i punti $(0,4), (4,0)$
io invece avevo pensato di mettere a sistema cosi
${(y=x+2),(x=k):}$
e poi
${(y=-x+4),(x=k):}$
in modo da ottenere con il primo sistema l'altezza e con il secondo la base...e poi fare $((k+2)(-k+4))/(2)=9$ ...però poi il determinante dell'equazione che ottengo è minore di $0$ non è giusto il mio ragionamento?
$sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)=$ utilizzando i punti $(0,2), (-2,0)$ e i punti $(0,4), (4,0)$
io invece avevo pensato di mettere a sistema cosi
${(y=x+2),(x=k):}$
e poi
${(y=-x+4),(x=k):}$
in modo da ottenere con il primo sistema l'altezza e con il secondo la base...e poi fare $((k+2)(-k+4))/(2)=9$ ...però poi il determinante dell'equazione che ottengo è minore di $0$ non è giusto il mio ragionamento?
Se facciamo riferimento alla figura del vecchio post, per esprimere l'area del triangolo $PQR$ si può fare in vari modi, perché è chiaramente un triangolo rettangolo isoscele, cioè metà quadrato.
Il modo che dici tu va bene, ma non è il più semplice. Comunque puoi trovare le coordinate di $R$ e di $Q$, mentre quelle di $P$ le sai già e sono $(1, 3)$.
Per trovare le coordinate di $R$ interseca la retta $t$ con la $r$. Scrivi il sistema ${(x=k), (y=x+2):}$. Trovi $R(k, k+2)$.
Per trovare le coordinate di $Q$ interseca la retta $t$ con la $s$. Scrivi il sistema ${(x=k), (y=-x+4):}$. Trovi $Q(k, -k+4)$.
La lunghezza di $PR$ è $PR=sqrt((k-1)^2+(k+2-3)^2)=|k-1|sqrt(2)$,
la lunghezza di $PQ$ è $PQ=sqrt((k-1)^2+(-k+4-3)^2)=|k-1|sqrt(2)$.
Quindi l'area è $1/2PR*PQ=(k-1)^2$. Questa deve essere $9$. Perciò l'equazione da risolvere è $(k-1)^2=9$, con $k>=1$. Questa diventa $k^2-2k-8=0->(k+2)(k-4)=0$ che ha soluzioni $k_1=-2$ che si scarta e $k_2=4$ che è accettabile.
Il modo che dici tu va bene, ma non è il più semplice. Comunque puoi trovare le coordinate di $R$ e di $Q$, mentre quelle di $P$ le sai già e sono $(1, 3)$.
Per trovare le coordinate di $R$ interseca la retta $t$ con la $r$. Scrivi il sistema ${(x=k), (y=x+2):}$. Trovi $R(k, k+2)$.
Per trovare le coordinate di $Q$ interseca la retta $t$ con la $s$. Scrivi il sistema ${(x=k), (y=-x+4):}$. Trovi $Q(k, -k+4)$.
La lunghezza di $PR$ è $PR=sqrt((k-1)^2+(k+2-3)^2)=|k-1|sqrt(2)$,
la lunghezza di $PQ$ è $PQ=sqrt((k-1)^2+(-k+4-3)^2)=|k-1|sqrt(2)$.
Quindi l'area è $1/2PR*PQ=(k-1)^2$. Questa deve essere $9$. Perciò l'equazione da risolvere è $(k-1)^2=9$, con $k>=1$. Questa diventa $k^2-2k-8=0->(k+2)(k-4)=0$ che ha soluzioni $k_1=-2$ che si scarta e $k_2=4$ che è accettabile.
ti sembrerà strano ma il tuo metodo mi sembra più complicato di quello mio....l'unica cosa è che con il mio metodo $Delta <0$ come è possibile
Con il tuo metodo non esprimi affatto l'area del triangolo in funzione di $k$. Quello che calcoli è metà del prodotto delle ordinate di $Q$ e $R$.
ok ho capito il tuo ragionamento..... cosi l'ho fatto anch'io senza guardare il tuo svolgimento però la lunghezza dei cateti mi viene un'equazione di secondo grado anzicchè cosi
a me viene cosi
$PR=sqrt(2k^2-4k+2)$
e poi come continuo???
"chiaraotta":
La lunghezza di $PR$ è $PR=sqrt((k-1)^2+(k+2-3)^2)=|k-1|sqrt(2)$,
la lunghezza di $PQ$ è $PQ=sqrt((k-1)^2+(-k+4-3)^2)=|k-1|sqrt(2)$.
a me viene cosi
$PR=sqrt(2k^2-4k+2)$
e poi come continuo???
"silvia_85":
....
[quote="chiaraotta"]
.....
La lunghezza di $PR$ è $PR=sqrt((k-1)^2+(k+2-3)^2)=|k-1|sqrt(2)$,
.....
a me viene cosi
$PR=sqrt(2k^2-4k+2)$
e poi come continuo???[/quote]
$PR=sqrt(2k^2-4k+2)=sqrt(2(k^2-2k+1))=sqrt(2*(k-1)^2)=sqrt(2)*sqrt((k-1)^2)=sqrt(2)*|k-1|$.
ah....ok....una volta trovati i cateti....se non sbaglio posso applicare la formula dell'area del triangolo...giusto?
ma come imposto la formula?
cosi
$(sqrt(2)|k-1|*(sqrt(2)|k-1|))/(2)=9$
non mi sembra tanto fattibile come formula
ma come imposto la formula?
cosi
$(sqrt(2)|k-1|*(sqrt(2)|k-1|))/(2)=9$
non mi sembra tanto fattibile come formula
"silvia_85":
.....
$(sqrt(2)|k-1|*(sqrt(2)|k-1|))/(2)=9$
non mi sembra tanto fattibile come formula
Perché no?
$sqrt(2)*sqrt(2)=2$,
$|k-1|*|k-1|=(k-1)^2$
e quindi
$(sqrt(2)|k-1|*(sqrt(2)|k-1|))/(2)=(2*(k-1)^2)/2=(k-1)^2$.
Perciò l'equazione è
$(k-1)^2=9$.
e qual'è il valore di $k>=1$ che da l'area uguale a $9$? perchè $(k-1)^2=9$ mi da come equazione $k^2-2k-8=0$ ma il suo $Delta<0$ come può essere?
Non è vero che $Delta<0$
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