Area parabola e rette

[andreasborchia]

Buona sera, ho il seguente problema
devo calcolare l´area del seguente dominio
(x+y)^(2)≤9
y≤-x^(2)+9

La figura é stata caricara qui sotto.. mi sono impantanato.
PER FAVORE, NON DEVO USARE GLI INTEGRALI. SONO AL TERZO ANNO QUINDI SONO GEOMETRIA ANALITICA.
GRAZIE

[gugo82]

L'area di un segmento parabolico ad una base delimitato da una corda $AB$[nota]Un segmento parabolico ad una base con base una corda che ha per estremi due punti $A, B in p$ è l'unica parte limitata della regione interna alla parabola delimitata dalla corda.[/nota] si può calcolare con un noto Teorema di Archimede:

L'area del segmento parabolico delimitato nella parabola $p$ dalla corda di estremi $A=(x_A , y_A), B=(x_B, y_B) in p$ è uguale ai $4/3$ dell'area del triangolo $ABC$, il cui terzo vertice $C$ è il punto di $p$ che ha come ascissa la media delle ascisse di $A$ e $B$, cioè $C in p$ e $ x_C = (x_A + x_B)/2$.

L'area del segmento parabolico a due basi[nota]Un segmento parabolico a due basi con basi le corde (disgiunte) di estremi due punti $A, B$ e $A_1,B_1 in p$ è l'intersezione della regione interna alla parabola con l'angolo o la striscia che ha per lati le rette contenenti le basi $AB$ e $A_1B_1$.[/nota] si calcola come differenza delle aree di due segmenti ad una base.

Quindi:

[*:3hfx7zft] calcoli i quattro punti $A,B$ ed $A_1,B_1$ di intersezione tra le rette e la parabola, che sono gli estremi delle basi del segmento parabolico che ti interessa;

[/*:m:3hfx7zft]
[*:3hfx7zft] calcoli i punti $C$ e $C_1$ che stanno su $p$ ed hanno ascisse $ x_C = (x_A + x_B)/2$ ed $ x_(C_1) = (x_(A_1) + x_(B_1))/2$;

[/*:m:3hfx7zft]
[*:3hfx7zft] calcoli l'area dei segmenti ad una base come $4/3 "area"(ABC)$ e $4/3 "area"(A_1B_1C_1)$;

[/*:m:3hfx7zft]
[*:3hfx7zft] trovi l'area del segmento a due basi facendo la differenza.[/*:m:3hfx7zft][/list:u:3hfx7zft]

***

Fatto l'esercizio, che è una rottura di scatole per i calcoli, puoi anche andare ad approfondire la faccenda, se vuoi. Ti do alcuni spunti.
Prendi una parabola generica $p: y = ax^2 + bx + c$ e due punti generici $A=(x_A , y_A), B=(x_B, y_B)$ su di essa.
Prova che:

[list=A][*:3hfx7zft] tra tutte le rette del fascio improprio parallelo ad $AB$ ce n'è una sola, diciamola $t$, tangente alla parabola $p$;

[/*:m:3hfx7zft]
[*:3hfx7zft] il punto di tangenza tra la parabola $p$ e la retta \(t \parallel AB\) è proprio $C$ che ha ascissa $ x_C = (x_A + x_B)/2$;
[/*:m:3hfx7zft]
[*:3hfx7zft] la formula generica per l'area del segmento ad una base dipende (in maniera molto semplice!) solo da $x_B - x_A$ e dal parametro di forma $a$ della parabola.[nota]Dico che $a$ è un parametro di forma perché da esso dipendono sia la concavità/convessità della parabola, sia l'ampiezza della sua apertura.[/nota][/*:m:3hfx7zft][/list:o:3hfx7zft]

Buon lavoro!