Area massima dei trapezi

[shintek201]

Fra tutti i trapezi inscritti in una semicirconferenza di raggio r e aventi per base maggiore il diametro,determinare quello avente area massima.


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Ho posto $HC=x$

Ho ricavato con pitagora $OH=sqrt(r^2-x^2)$

Cosi l'area è uguale:$A=(r+x)sqrt(r^2-x^2)$

Ed ora?

[@melia]

Derivata prima e segno della derivata, manca anche l'insieme di esistenza dell'esercizio.

[shintek201]

"@melia":Derivata prima e segno della derivata, manca anche l'insieme di esistenza dell'esercizio.

$y'=-(x(r+x))/(sqrt(r^2-x^2))$
$y'>0$
Cosi?La condizione sarebbe:$x€[0,r]$?

[@melia]

La condizione è giusta, la derivata è sbagliata

[vittorino70]

Anche in questo caso si può fare a meno delle derivate,Scriviamo l'area in questo modo ( portando sotto radice il fattore positivo \(\displaystyle r+x \) ):
\(\displaystyle A=\sqrt{(r+x)^3(r-x)} \) ,sempre con la condizione \(\displaystyle 0 Ora sotto radice compare il prodotto di due potenze ( a base positiva) una di esponente 3 e l'altra di esponente 1.La somma delle basi è \(\displaystyle r+x+r-x=2r \) ed è quindi costante.Per una nota regola il prodotto in questione è massimo quando le basi sono proporzionali ai rispettivi esponenti.Cioé:
\(\displaystyle \frac{r+x}{3}=\frac{r-x}{1} \)
Da cui ricaviamo \(\displaystyle x=\frac{r}{2} \) che è accettabile.
Pertanto risulta \(\displaystyle \bar{CD}=r \)
Da questo risultato si ricava facilmente che è pure :\(\displaystyle \bar{BC}=\bar{DA}=r \) e dunque possiamo concludere che il trapezio di area massima richiesto è il semiesagono regolare inscritto nella semicirconferenza.

[shintek201]

"@melia":La condizione è giusta, la derivata è sbagliata

L'ho rifatta:
$y'=(-2x^2-rx+r^2)/(sqrt(r^2-x^2))>=0$
Mi risulta un massimo per $x=r/2$
E adesso?Non riesco a capire come arrivare alla conclusione geometrica...

[shintek201]

"vittorino70":Anche in questo caso si può fare a meno delle derivate,Scriviamo l'area in questo modo ( portando sotto radice il fattore positivo \(\displaystyle r+x \) ):
\(\displaystyle A=\sqrt{(r+x)^3(r-x)} \) ,sempre con la condizione \(\displaystyle 0 Ora sotto radice compare il prodotto di due potenze ( a base positiva) una di esponente 3 e l'altra di esponente 1.La somma delle basi è \(\displaystyle r+x+r-x=2r \) ed è quindi costante.Per una nota regola il prodotto in questione è massimo quando le basi sono proporzionali ai rispettivi esponenti.Cioé:
\(\displaystyle \frac{r+x}{3}=\frac{r-x}{1} \)
Da cui ricaviamo \(\displaystyle x=\frac{r}{2} \) che è accettabile.

Mi dispiace,ma perché fai la somma delle basi?E qual è la regola del prodotto massimo?

[vittorino70]

@shintek20
Lascia perdere ...

[shintek201]

Scusami...ma purtroppo fino ora sono stato abituato dalla mia professoressa a risolverli tramite le derivate...per questo sono un po' estraneo a quest'altro metodo...potresti almeno spiegarmi perché se $x=r/2$ diventa un semiesagono?

[vittorino70]

@shintek20
Non ce l'ho mica con te.I responsabili di una matematica per canoni standard sono altri .Tu non c'entri : sei la vittima!
Quanto alla interpretazione geometrica tieni presente che il lato dell'esagono regolare inscritto è uguale al raggio r.Inoltre hai :BC=CD=DA=r e dunque ...

[shintek201]

Si lo so...purtroppo è cosi...Non riesco a capire perché:$DA=CB=r$?

[shintek201]

Per favore potreste almeno chiarirmi questa cosa?Perché se: $DC=AD=CB=r$,allora è un semiesagono ?

[vittorino70]

Ti ho già risposto quando ho detto che il lato dell'esagono regolare inscritto è uguale al raggio r.Perciò con tre lati uguali al raggio hai un mezzo esagono regolare inscritto...

[shintek201]

Ah ok grazie mille!