Area integrali definiti teoria
Salve, sto ripassando (come mi avete consigliato) gli integrali; mi sorge un dubbio su una proprietà dell'integrale definito, in pratica se l'estremo superiore e inferiore sono entrambi nulli si ha una verticale come risultato grafico.
Se una funzione è definita nell'intervallo $a$ e $b$ con $a$ minore di $b$, sta scritto che bisogna fare l'inversione degli estremi, ottenendo l'opposto.
Precisamente cosa bisogna fare? Sto studiando da appunti di persone che hanno fatto l'esame, ma questa proprietà non è chiara.
Grazie e scusate il disturbo
Se una funzione è definita nell'intervallo $a$ e $b$ con $a$ minore di $b$, sta scritto che bisogna fare l'inversione degli estremi, ottenendo l'opposto.
Precisamente cosa bisogna fare? Sto studiando da appunti di persone che hanno fatto l'esame, ma questa proprietà non è chiara.
Grazie e scusate il disturbo
Risposte
"chiaramc":
Se una funzione è definita nell'intervallo $ a $ e $ b $ con $ a $ minore di $ b $, sta scritto che bisogna fare l'inversione degli estremi, ottenendo l'opposto.
Edit:
Questa frase diciamo che è un po' imprecisa. Nel senso che non bisogna fare proprio niente. Ma è una proprietà dell'integrale definito. Ovvero:
\[ \int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx \]
Sostanzialmente questa proprietà ti da una sorta di direzione di come percorri l'area sottesa al grafico. Da sinistra verso destra ci metti un segno "+", da destra verso sinistra ci metti un segno "-". Attenzione non vuol dire che se percorri l'area da sinistra a destra ci metti l'integrale è positivo (mi spiego meglio sotto)
Se \(f: [a,b] \to \mathbb{R} \) è una funzione integrabile ed \(F\) una sua primitiva, per il teorema fondamentale del calcolo hai
\[ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \]
Ora se inverti gli estremi dell'integrale
\[ \int_b^a f(x) dx = F(a)- F(b) \]
come puoi vedere in norma ottieni che \( \left| F(b) - F(a) \right| = \left| F(a) - F(b) \right| \) ma hanno segno opposto, infatti
\[ F(b) - F(a) = - \left( F(a)- F(b) \right) \]
Percorrendo l'area da sinistra verso destra ottieni \( + \left( F(b)- F(a) \right) \) e percorrendo l'area da destra verso sinistra ottieni \( - \left( F(b)- F(a) \right) \), però potrebbe benissimo essere che \( F(b) - F(a) < 0 \).
ok, ho capito, quindi la imparo come proprietà non come procedimento.
Non hai un libro? Anche del Liceo (sempre meglio degli appunti, soprattutto di altri)
Ho editato il messaggio precedente dacci un occhiata.
Diciamo che non dovresti pensare alle cose come imparo questo come proprietà o quest'altro come procedimento. La matematica è fatta di assiomi, definizioni, principi, teoremi, proposizioni, proprietà, lemmi, etc... non di procedimenti.
Poi diversi tipi di problemi si possono risolvere grazie a dei procedimenti che sono dedotti, validi e giustificati proprio grazie alle definizioni, ai teoremi, proposizioni etc.
Per farti capire cosa intendo, prendo un esempio semplice. I principi di equivalenza delle equazioni.
1) Aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri uno stesso numero (o espressione) si ottiene un'equazione equivalente ( a patto che non vengano ristrette le condizioni di esistenza)
2) Data un equazione, moltiplicando o dividendo ambedue i membri per uno stesso numero diverso da zero o per un espressione che non si annulli che contiene l'incognita sia il valore della stessa, si ottiene un equazione equivalente, a patto che non restringa le condizioni di esistenza.
Queste principi di equivalenza non sono un procedimento, non ti dicono che devi fare una cosa. Sono delle proposizioni punto stop!
Ora hai un problema che è trovare le soluzioni di un equazione di primo grado ad esempio. Beh utilizzando questi principi si giustifica il procedimento, che è sempre legato alla risoluzione di un problema, di spostare i termini con le incognite a sinistra e i termini senza incognita a destra. Ma non è una cosa imposta dai principi di equivalenza stessi, è semplicemente un procedimento, valido e giustificato dai principi di equivalenza, che ti permette di risolvere una classe di problemi (le equazioni di primo grado). Ma non è l'unico.
Edito anche questo facendo un esempio qui sotto legato agli integrali.
L'integrale definito di una funzione ti restituisce l'area sottesa al grafico della funzione. Bene, ma non vuol dire che devi calcolarti un integrale per trovare l'area. Prendila come verità, come frase a sé stante, slegata da un problema.
Ora hai un problema che è calcolare l'area sottesa al grafico di una funzione. Come lo risolvi? È una tua scelta con gli strumenti che conosci. Se la funzione è \( x \mapsto f(x) =1\) e ti si chiede di calcolare l'area sottesa ad \(f(x) \) compresa tra \(0\) e \(1\). Puoi si calcolarti l'integrale, ma potresti renderti conto che è un quadrato di lato \(1\) e calcolarti l'area facendo \(1\cdot 1=1\).
Chiaramente se la funzione \(f\) è un po' più complessa non puoi ricorrere ai mezzi della geometria (o sì ma sarebbe più complicato) e quindi fai l'integrale, perché la matematica ti ha dato uno strumento in più (gli integrali) per dirti che puoi risolvere il problema di trovare un area calcolandoti un integrale.
È questo che si cerca di fare. Sviluppare teorie, teoremi, etc per riuscire a risolvere problemi sempre più complessi nel modo più semplice possibile.
"chiaramc":
ok, ho capito, quindi la imparo come proprietà non come procedimento.
Diciamo che non dovresti pensare alle cose come imparo questo come proprietà o quest'altro come procedimento. La matematica è fatta di assiomi, definizioni, principi, teoremi, proposizioni, proprietà, lemmi, etc... non di procedimenti.
Poi diversi tipi di problemi si possono risolvere grazie a dei procedimenti che sono dedotti, validi e giustificati proprio grazie alle definizioni, ai teoremi, proposizioni etc.
Per farti capire cosa intendo, prendo un esempio semplice. I principi di equivalenza delle equazioni.
1) Aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri uno stesso numero (o espressione) si ottiene un'equazione equivalente ( a patto che non vengano ristrette le condizioni di esistenza)
2) Data un equazione, moltiplicando o dividendo ambedue i membri per uno stesso numero diverso da zero o per un espressione che non si annulli che contiene l'incognita sia il valore della stessa, si ottiene un equazione equivalente, a patto che non restringa le condizioni di esistenza.
Queste principi di equivalenza non sono un procedimento, non ti dicono che devi fare una cosa. Sono delle proposizioni punto stop!
Ora hai un problema che è trovare le soluzioni di un equazione di primo grado ad esempio. Beh utilizzando questi principi si giustifica il procedimento, che è sempre legato alla risoluzione di un problema, di spostare i termini con le incognite a sinistra e i termini senza incognita a destra. Ma non è una cosa imposta dai principi di equivalenza stessi, è semplicemente un procedimento, valido e giustificato dai principi di equivalenza, che ti permette di risolvere una classe di problemi (le equazioni di primo grado). Ma non è l'unico.
Edito anche questo facendo un esempio qui sotto legato agli integrali.
L'integrale definito di una funzione ti restituisce l'area sottesa al grafico della funzione. Bene, ma non vuol dire che devi calcolarti un integrale per trovare l'area. Prendila come verità, come frase a sé stante, slegata da un problema.
Ora hai un problema che è calcolare l'area sottesa al grafico di una funzione. Come lo risolvi? È una tua scelta con gli strumenti che conosci. Se la funzione è \( x \mapsto f(x) =1\) e ti si chiede di calcolare l'area sottesa ad \(f(x) \) compresa tra \(0\) e \(1\). Puoi si calcolarti l'integrale, ma potresti renderti conto che è un quadrato di lato \(1\) e calcolarti l'area facendo \(1\cdot 1=1\).
Chiaramente se la funzione \(f\) è un po' più complessa non puoi ricorrere ai mezzi della geometria (o sì ma sarebbe più complicato) e quindi fai l'integrale, perché la matematica ti ha dato uno strumento in più (gli integrali) per dirti che puoi risolvere il problema di trovare un area calcolandoti un integrale.
È questo che si cerca di fare. Sviluppare teorie, teoremi, etc per riuscire a risolvere problemi sempre più complessi nel modo più semplice possibile.
grazie mille, chiaro ed esaustivo
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