Area della lunula

[gundamrx91-votailprof]

Devo calcolare l'area di una lunula, definendo i parametri del caso, considerato che conosco l'area di una corona circolare ($A=pi R^2 - pi r^2$), l'area di un settore circolare ($A=(1/2)alpha(R^2 - r^2)$), poi conosco le funzioni trigonometriche di base ($sin alpha, cos alpha, tan alpha$), e poi..... non so da dove partire.
Anzi diciamo che ho provato a disegnare i triangoli che derivano dall'unire i punti in cui la lunula interseca la circonferenza con il centro della stessa, ma non sono riuscito ad capire se puo' essere utile o meno, anche se credo di intuire che sia cosi'.

Che mi suggerite ??

Grazie

[peraudio]

sembra carino... ma forse dovresti postare il testo integrale: non ho capito come lo si deve disegnare

[gundamrx91-votailprof]

Il testo dice solo di definire l'area di una lunula generica (la disegni unendo con una linea due punti su una circonferenza).

[adaBTTLS1]

la lunula ha due lati che sono archi di circonferenze. una volta fissati i due punti, devi anche considerare il raggio dell'altra circonferenza.

[peraudio]

ho trovato questo:
http://utenti.quipo.it/base5/pitagora/lunula.htm

[gundamrx91-votailprof]

Ho dovuto guardare la soluzione del libro..... pero' la devo ancora capire!!!!!!

Comunque bisogna calcolare l'area del cerchio (basta avere la lunghezza del raggio) e l'area del triangolo disegnato dalla corda della lunula, farne la differenza (pero' con la meta' dell'area del cerchio) e si ottiene l'area della lunula.
Ora viene la parte piu' difficile: capire i passaggi fatti

[gundamrx91-votailprof]

questa e' la mia lunula

Allora, nell'esercizio abbiamo noto il raggio R e l'ampiezza della lunula che e' $2 alpha$; qui ho un dubbio perche' non ho capito quale angolo esattamente consideri.... Poi definisce la distanza dalla corda c al centro della circonferenza come $h=Rcos(alpha)$. E qua ho un altro dubbio: ma se la lunghezza di h la esprimo come il rapporto tra la lunghezza dell'ipotenusa OB (O mi sono dimenticato di disegnarlo... e' i centro della circonferenza ) e l'angolo del cateto OD, non era la stessa cosa dire che $h=sen(alpha)$ ???

[@melia]

Quello è un segmento circolare ad una base non una lunula, questa è una lunula.

[gundamrx91-votailprof]

Non so che dire... io sto cercando di risolvere un esercizio del Bramanti nel Precalculus, dove c'e' un disegno della lunula come quello che ho riportato.
Comunque vorrei capire i dubbi sopra riportati....

[@melia]

L'angolo considerato è $hat(AOB)=2 alpha$, quindi $alpha$ è anche l'angolo $hat(OBD)$, il raggio non è necessariamente 1, quindi $h=R*cos alpha$

[gundamrx91-votailprof]

vediamo se ho capito.... per usare $cos(alpha)$ si sta prendendo in esame il triangolo BOc e se il $cos(alpha)$ e' indicato dal segmento Bc, allora i conti mi quadrano.

A questo punto pero' devo calcolare l'area del triangolo in oggetto, moltiplicarla per 4 (perche' sono quattro triangoli) e sottrarla all'area del semicerchio, in modo da ottenere l'area del segmento circolare

[gundamrx91-votailprof]

Ecco la mia soluzione: prima di tutto devo determinare due lati del triangolo OBc, che sono:

$h=Rcos(alpha)$

$Bc=Rcos(alpha)$

da cui ottengo $AOBc = (h*Bc)/2 = (Rsen(alpha)*Rcos(alpha))/2 = (R^2cos(alpha)sen(alpha))/2

che moltiplico per 4, quanti sono i triangoli complessivi presenti nel semicerchio:

$A = 2R^2sen(alpha)cos(alpha)$

Ora faccio la differenza tra l'area del semicerchio $A=(pi R^2)/2$ e del rettangolo sopra calcolato, e ottengo:

$A = (pi R^2)/2 - 2R^2sen(alpha)cos(alpha) = (pi R^2 - 4R^2sen(alpha)cos(alpha))/2 = ((R^2) *(pi - 4 sen(alpha)cos(alpha)))/2$


La soluzione del libro invece e' : $A = R^2(alpha - cos(alpha)sen(alpha))$