Area del triangolo note le coordinate dei vertici
Ciao a tutti, sono nuova del forum e avrei una domanda di geometria analitica.
Avrei bisogno di una formula diretta per trovare l'area di un triangolo note le coordinate dei vertici.
Ne ho trovate di diverse ma non sono riuscita a capirle o ad applicarle bene. Potreste consigliarmi e magari spiegarmi una formula? Grazie
Avrei bisogno di una formula diretta per trovare l'area di un triangolo note le coordinate dei vertici.
Ne ho trovate di diverse ma non sono riuscita a capirle o ad applicarle bene. Potreste consigliarmi e magari spiegarmi una formula? Grazie
Risposte
La cosa più semplice e brute force da fare, essendo note le coordinate dei vertitici, è usare la formula per la distanza tra due punti al fine di determinare la misura dei tre lati, quindi ricorrere alla formula di Erone per trovare l'area.
Grazie della riaposta ...comunque non ci sarebbe una formula diretta unica?
...comunque non ci sarebbe una formula diretta unica?
Di metodi e di formule ce ne sono tanti: non a caso ho esordito con "La cosa più semplice e brute force da fare...".
Il punto è: quali sono le tue conoscenze? Perché ogni metodo si giustifica in modo differente.
Quello che ti ho proposto è uno dei più semplici perché usa solo la formula per la distanza tra due punti e la formula di Erone.
Un'altra strada che utilizza nozioni semplici è la seguente: calcoli la misura di un lato applicando la formula per la distanza tra due punti ad una coppia di vertici, quindi usi il terzo vertice per applicare la formula per la distanza di un punto (il terzo vertice in questione) da una retta (quella passante per i primi due vertici), sicché in questo modo hai la base e l'altezza del triangolo con cui concludere è facile.
Altrimenti puoi usare la formula dell'area di Gauss: questa consiste di una sola formula da usare in modo diretto, come chiedi, ma per essere giustificata richiede le forme differenziali.
Altrimenti se hai un minimo di conoscenza delle matrici si può provare che la metà del valore assoluto del determinante della matrice quadrata di ordine 3 avente come prima colonna le ascisse dei vertici, come seconda colonna le ordinate dei vertici e come terza colonna una colonna di \( 1 \) è proprio l'area del triangolo di cui sono noti i vertici: dimostrare ciò non è difficile ma devi avere un minimo di conoscenza delle matrici, per lo meno devi sapere cosa sono e come si calcolano i determinanti.
P.S.
La formula dell'area di Gauss, in effetti, nel caso del triangolo, coincide con quella che si ottiene con le matrici: il punto è che questa formula vale per un poligono con \( n \) lati e non solo per un triangolo.
Il punto è: quali sono le tue conoscenze? Perché ogni metodo si giustifica in modo differente.
Quello che ti ho proposto è uno dei più semplici perché usa solo la formula per la distanza tra due punti e la formula di Erone.
Un'altra strada che utilizza nozioni semplici è la seguente: calcoli la misura di un lato applicando la formula per la distanza tra due punti ad una coppia di vertici, quindi usi il terzo vertice per applicare la formula per la distanza di un punto (il terzo vertice in questione) da una retta (quella passante per i primi due vertici), sicché in questo modo hai la base e l'altezza del triangolo con cui concludere è facile.
Altrimenti puoi usare la formula dell'area di Gauss: questa consiste di una sola formula da usare in modo diretto, come chiedi, ma per essere giustificata richiede le forme differenziali.
Altrimenti se hai un minimo di conoscenza delle matrici si può provare che la metà del valore assoluto del determinante della matrice quadrata di ordine 3 avente come prima colonna le ascisse dei vertici, come seconda colonna le ordinate dei vertici e come terza colonna una colonna di \( 1 \) è proprio l'area del triangolo di cui sono noti i vertici: dimostrare ciò non è difficile ma devi avere un minimo di conoscenza delle matrici, per lo meno devi sapere cosa sono e come si calcolano i determinanti.
P.S.
La formula dell'area di Gauss, in effetti, nel caso del triangolo, coincide con quella che si ottiene con le matrici: il punto è che questa formula vale per un poligono con \( n \) lati e non solo per un triangolo.
Grazie, la formula di Gauss sembra abbastanza pratica quindi la proverò, mentre l'ultima con le matrici , di cui non ho conoscenze, sarebbe troppo difficile da imparare?
L'uso del determinante della matrice quadrata di ordine 3 costruita come ti ho indicato fornisce alla fine la stessa formula fornita dalla formula di Gauss, solo che nel valore assoluto i segni e l'ordine degli addendi sono al contrario, il che non ha importanza data la commutatività della somma e il valore assoluto.
L'uso del determinante è diciamo più pratico perché ti basta comporre la matrice e calcolare il determinante (per esempio) con la regola di Sarrus, mentre con la formula di Gauss o tieni a mente la formula nella forma generale con la sommatoria ed espandi la sommatoria ogni volta fino a 3 vertici oppure tieni a mente direttamente l'espansione nel caso dei 3 vertici.
Ma più che questo, secondo me, è importante il modo in cui si giustifica una formula. Quali sono le tue conoscenze?
L'uso del determinante è diciamo più pratico perché ti basta comporre la matrice e calcolare il determinante (per esempio) con la regola di Sarrus, mentre con la formula di Gauss o tieni a mente la formula nella forma generale con la sommatoria ed espandi la sommatoria ogni volta fino a 3 vertici oppure tieni a mente direttamente l'espansione nel caso dei 3 vertici.
Ma più che questo, secondo me, è importante il modo in cui si giustifica una formula. Quali sono le tue conoscenze?
Grazie mille, allora proverò e vi farò sapere
Di geometria analitica so calcolare la distanza tra 2 punti, l'equazione della retta quindi l' mx e cose che ne derivano e la distanza punto retta.
Di geometria analitica so calcolare la distanza tra 2 punti, l'equazione della retta quindi l' mx e cose che ne derivano e la distanza punto retta.
Puoi trovare una spiegazione del perché l'area di un triangolo di vertici \( A \equiv \left( x_{1}; y_{1} \right) \), \( B \equiv \left( x_{2}; y_{2} \right) \) e \( C \equiv \left( x_{3}; y_{3} \right) \) è uguale a metà del valore assoluto del determinante della matrice di cui sopra in questo topic proprio qui su Matematicamente.it: ci sono in realtà due spiegazioni, una di oronte83 ed una di franced.
Ah grazie! Proverò entrambi i metodi e vedrò con quale mi trovo meglio, poi vi farò sapere. Grazie
Mi sono trovata bene con la formula di Gauss così adattata:
A=1/2 |x1y2+x2y3+x3y1-x2y1-x3y2-x1y3|
Grazie mille per l'aiuto!
A=1/2 |x1y2+x2y3+x3y1-x2y1-x3y2-x1y3|
Grazie mille per l'aiuto!
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