Area del triangolo
Si calcoli l'area di un triangolo equilatero
ABC al cui interno e' situato un punto P
le distanze del quale dai vertici A,B,C
misurano, rispetto ad un'assegnata unita',
5,4,3 rispettivamente.
Possibilmente niente calcoloni..mi raccomando.
karl.
ABC al cui interno e' situato un punto P
le distanze del quale dai vertici A,B,C
misurano, rispetto ad un'assegnata unita',
5,4,3 rispettivamente.
Possibilmente niente calcoloni..mi raccomando.
karl.
Risposte
Posso avere un aiutino, sapere solo se l'ho impostato bene o rischio di scoppiare tra i calcoli?
Ho posto il lato = x. So che l'area è (([|)]3)x^2)/4.
All'interno dei tre triangoli che si vengono a formare ho dovuto dare il nome a tre angoli, diciamo a b c. In questo modo controllo tutti gli angoli presenti all'interno del triangolo equilatero.
Poi con il Teorema di Eulero riesco a ricavare sia sen(b) che sen(c) in funzione di sen(a), ed anche x.
Sempre con la trigonometria trovo le aree in funzione degli angoli a,b,c dei 3 triangoli scaleni interni e paragono la somma delle tre aree all'area in funzione di x. Così dovrebbe venire un'equazione in funzione di sen(a) e dovrei saperlo ricavare... E calcolare l'area.
Ma ho il sospetto (o la speranza??) che esista un metodo MOOOLTO più semplice, non è vero?
Un po' di conforto, suvvia...
Paola
Ho posto il lato = x. So che l'area è (([|)]3)x^2)/4.
All'interno dei tre triangoli che si vengono a formare ho dovuto dare il nome a tre angoli, diciamo a b c. In questo modo controllo tutti gli angoli presenti all'interno del triangolo equilatero.
Poi con il Teorema di Eulero riesco a ricavare sia sen(b) che sen(c) in funzione di sen(a), ed anche x.
Sempre con la trigonometria trovo le aree in funzione degli angoli a,b,c dei 3 triangoli scaleni interni e paragono la somma delle tre aree all'area in funzione di x. Così dovrebbe venire un'equazione in funzione di sen(a) e dovrei saperlo ricavare... E calcolare l'area.
Ma ho il sospetto (o la speranza??) che esista un metodo MOOOLTO più semplice, non è vero?
Un po' di conforto, suvvia...
Paola
Giè esiste...prova a ruotare la situazione ed osservare che (3,4,5) è una terna pitagorica...
L'avevo notato, ma... Urka mi sfugge il passaggio seguente.. Mediterò...
Paola
Paola
Il suggerimento di Thomas e' una buona traccia.
Prova a ruotare PA,PB,PC di un certo angolo.
Comunque l'area richiesta e' 9+25*sqrt(3)/4.
Magari piu' tardi metto la soluzione sul mio
spazio web e non sul Forum per dar modo a
chi volesse trovarla da solo di lavorare
...senza tentazioni.Avverto comunque che il problema non e'
semplicissimo.
karl.
Prova a ruotare PA,PB,PC di un certo angolo.
Comunque l'area richiesta e' 9+25*sqrt(3)/4.
Magari piu' tardi metto la soluzione sul mio
spazio web e non sul Forum per dar modo a
chi volesse trovarla da solo di lavorare
...senza tentazioni.Avverto comunque che il problema non e'
semplicissimo.
karl.
[img]http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/prime.bmp[/img]
Si ruotino (vedi figg.) AP,BP e CP di 60 ° attorno ad AC,
AB e BC rispettivamente,ottenendo cosi' i triangoli equilateri
APR, BPS e PCT.
I triangoli APC e BTC sono congruenti (dimostrarlo!) e quindi
BT=AP=5 e pertanto il triangolo BPT,i cui lati misurano 3,4,5
e' rettangolo in P.Analogamente sono congruenti i triangoli
ABS e BPC e quindi AS=PC=3 e pertanto il triangolo APS e'
rettangolo in S.
Ed ancora ARC e' congruente ad ABP e dunque RC=BP=4 ,da cui
consegue che PRC e' rettangolo in C.
Quanto precede fa concludere che ABC e' meta' dell'esagono
ASBTCR che e' formato dai quadrilateri APCR,BSAP,PBTC ognuno
dei quali e' a sua volta somma di un triangolo rettangolo
e di un triangolo equilatero.Sviluppando i facili calcoli si ha che:
AREA_ABC=1/2*AREA_esagono=
=1/2*[(25sqrt(3)/4+6)+(9sqrt(3)/4+6)+(16sqrt(3)/4+6)]=
9+25sqrt(3)/4.
karl.
Si ruotino (vedi figg.) AP,BP e CP di 60 ° attorno ad AC,
AB e BC rispettivamente,ottenendo cosi' i triangoli equilateri
APR, BPS e PCT.
I triangoli APC e BTC sono congruenti (dimostrarlo!) e quindi
BT=AP=5 e pertanto il triangolo BPT,i cui lati misurano 3,4,5
e' rettangolo in P.Analogamente sono congruenti i triangoli
ABS e BPC e quindi AS=PC=3 e pertanto il triangolo APS e'
rettangolo in S.
Ed ancora ARC e' congruente ad ABP e dunque RC=BP=4 ,da cui
consegue che PRC e' rettangolo in C.
Quanto precede fa concludere che ABC e' meta' dell'esagono
ASBTCR che e' formato dai quadrilateri APCR,BSAP,PBTC ognuno
dei quali e' a sua volta somma di un triangolo rettangolo
e di un triangolo equilatero.Sviluppando i facili calcoli si ha che:
AREA_ABC=1/2*AREA_esagono=
=1/2*[(25sqrt(3)/4+6)+(9sqrt(3)/4+6)+(16sqrt(3)/4+6)]=
9+25sqrt(3)/4.
karl.
ecco un altro modo:
mettiamoci in un riferimento cartesiano in cui i tre vertici del triangolo equilatero siano A(a,0) B(0,a*sqrt(3)) C(-a,0).
il punto incriminato sia P(x,y)
deve essere:
(x-a)^2+y^2=9
x^2+(y-a*sqrt(3))^2=16
(x+a)^2+y^2=25
basta sottrarre la terza dalla prima per avere
x=4/a
con questo valore sottraendo la prima dalla seconda arriviamo a
y=(2a^2+1)/(2a*sqrt(3))
sostituendo il tutto abbiamo :
16a^4-200a^2+193=0
ricaviamo a=1/2*sqrt(25+12*sqrt(3)) che è uguale a metà lato.
poi si trova l'area...
mettiamoci in un riferimento cartesiano in cui i tre vertici del triangolo equilatero siano A(a,0) B(0,a*sqrt(3)) C(-a,0).
il punto incriminato sia P(x,y)
deve essere:
(x-a)^2+y^2=9
x^2+(y-a*sqrt(3))^2=16
(x+a)^2+y^2=25
basta sottrarre la terza dalla prima per avere
x=4/a
con questo valore sottraendo la prima dalla seconda arriviamo a
y=(2a^2+1)/(2a*sqrt(3))
sostituendo il tutto abbiamo :
16a^4-200a^2+193=0
ricaviamo a=1/2*sqrt(25+12*sqrt(3)) che è uguale a metà lato.
poi si trova l'area...
Bello il metodo di Maverick!!
Anch'io spesso riferisco la situazione
ad un sistema di riferimento cartesiano
per risolvere i problemi.
Anch'io spesso riferisco la situazione
ad un sistema di riferimento cartesiano
per risolvere i problemi.
Diciamo che il metodo di maverick e' il piu'
comodo perche' procede automaticamente con i
calcoli.In effetti era proprio questo che volevo
si evitasse.Personalmente,senza nulla togliere
a nessuno,preferisco i metodi sintetici che
spesso sono piu' difficili da seguire ma certamente
molto meno meccanici.
Provateci,vi verranno utili anche in occasioni
di superiori impegni.
Auguri a Maverick per la sua laurea;sono in attesa di
leggere la sua tesi.
karl.
comodo perche' procede automaticamente con i
calcoli.In effetti era proprio questo che volevo
si evitasse.Personalmente,senza nulla togliere
a nessuno,preferisco i metodi sintetici che
spesso sono piu' difficili da seguire ma certamente
molto meno meccanici.
Provateci,vi verranno utili anche in occasioni
di superiori impegni.
Auguri a Maverick per la sua laurea;sono in attesa di
leggere la sua tesi.
karl.
in effetti la mia soluzione non piace neanche a me... avevo provato a fare qualche costruzione geometrica ma non ne avevo ricavato niente, perciò ho usato un metodo "brute force" poco elegante. l'ingegnere ha prevalso sul matematico [;)]
Dopo guarderò meglio le vostre (interessanti) soluzioni. Ecco ciò che intendevo.
Ruotiamo la figura di 60° intorno al verice da cui parte il lato =3. Il risultato è un altro triangolo ribaltato rispetto al primo. I due segmenti =3 formano tra di loro un angolo di 60° e quindi originano un triangolo equilatero. Sopra questo si forma un triangolo con lati 3,4,5 cioè rettangolo. Per trovare il lato si procede con il teorema del coseno, dato che abbiamo due lati (3,4) e l'angolo compreso (90+60=150°)..
Ruotiamo la figura di 60° intorno al verice da cui parte il lato =3. Il risultato è un altro triangolo ribaltato rispetto al primo. I due segmenti =3 formano tra di loro un angolo di 60° e quindi originano un triangolo equilatero. Sopra questo si forma un triangolo con lati 3,4,5 cioè rettangolo. Per trovare il lato si procede con il teorema del coseno, dato che abbiamo due lati (3,4) e l'angolo compreso (90+60=150°)..
A me la soluzione di Maverick piace!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo