Arcsin x

[geovito]

ciao,
dubbio:la diseq $arcsin x>1/2$ ha per soluzione "pi/6

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Risposte

eugenio.amitrano

19 apr 2007, 13:33

Hai fatto un po' di confusione....
nel grafico dell'arcsin, i valori degli angoli si trovano sull'asse delle ordinate.

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codino75

19 apr 2007, 13:40

"vitus":ciao,
dubbio:la diseq $arcsin x>1/2$ ha per soluzione "pi/6

intuitivamente sembra che tu abbia capito .... pero' devi scrivere piu' correttamente le soluzioni...

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geovito

19 apr 2007, 13:45

in pratica,
se volessi risolvere l'equazione graficamente dorei partire dal valore sulle ordinate per arrivare tramite la funzione arcsin x a leggere il valore sulle ascisse. Donde poi risolvere la disequazione a seconda del segno, giusto?grazie

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codino75

19 apr 2007, 13:52

"vitus":in pratica,
se volessi risolvere l'equazione graficamente dorei partire dal valore sulle ordinate per arrivare tramite la funzione arcsin x a leggere il valore sulle ascisse. Donde poi risolvere la disequazione a seconda del segno, giusto?grazie

se disegni la funzione sin(x), il valore 1/2 lo trovi sulle ordinate, mentre sulle ascisse hai gli angoli, quindi io partirei da sin(x) guardando le ordinate e vedendo dove la funzione e' maggiore di 1/2

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geovito

19 apr 2007, 13:56

ok,
ma il libro mi dà come soluzione: sin 1/2

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codino75

19 apr 2007, 14:02

"vitus":ok,
ma il libro mi dà come soluzione: sin 1/2

c'e' qualcosa che non va.... sei sicuro di aver riportato bene il testo dell'esercizio e la relativa soluzione?

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geovito

19 apr 2007, 14:06

l'esercizio è $arcsin x>1/2$. la soluzione:$sin 1/2 per un esercizio simile $arcsin x<1$ dà come soluzione -1

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codino75

19 apr 2007, 14:07

"vitus":l'esercizio è $arcsin x>1/2$. la soluzione:$sin 1/2 per un esercizio simile $arcsin x<1$ dà come soluzione -1

ora che ci penso...mi sa che ho fatto "un po' " di confusione....
quindi disconosci tutto quello che ho scritto...
ci penso e se raggiungo qlke certezza ,,,posto.
ciao

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geovito

19 apr 2007, 14:09

tranquillo, può capitare
grazie x la cortesia

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eugenio.amitrano

19 apr 2007, 14:49

"vitus":ok,
ma il libro mi dà come soluzione: sin 1/2

ora e' tutto piu' chiaro!
Infatti il $sin(1/2)$ non e' $pi/6$

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_Tipper

19 apr 2007, 14:59

Il seno è funzione monotona crescente per $x \in [0, \pi]$ e monotona descrescente per $x \in [\pi, 2 \pi]$ (ho considerato solo il primo quadrante). Pertanto la soluzione della disequazione è data da

$\{(x > \frac{1}{2}),(0 \le x \le \pi):} \quad \vee \quad \{(x < \frac{1}{2}),(\pi \le x \le 2 \pi):}$

Devi poi sonsiderare che la disequazione ha senso solo se $-1 \le x \le 1$.

Dai miei conti risulta che la soluzione è $\frac{1}{2} < x \le 1$.

EDIT: ho scritto un sacco di boiate, rimedio con un altro post.

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_Tipper

19 apr 2007, 15:25

La disequazione ha senso solo se $x \in [-1, 1]$. In tale intervallo l'arcoseno varia monotonicamente fra $-\frac{\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{2}$, e in quest'ultimo intervallo il seno è una funzione monotona crescente, la soluzione si trova risolvendo

$\{(x > \sin(\frac{1}{2})),(-1 \le x \le 1):}$

e risulta

$\sin(\frac{1}{2}) < x \le 1$

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geovito

24 apr 2007, 14:28

per tipper:
dopo qualche giorno di febbre rieccomi, coi i dubbi irrisolti.
Scusami perchè la soluzione è $sin 1/2 La diseq di partenza era $arcsinx<1/2$
grazie

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geovito

24 apr 2007, 14:32

privo a spiegarti il mio modus operandi:
1) tracci il grafico di arcsin x
2) traccio la funzione costante Y= 1/2
3) seleziono i valori per cui arcsin x<1/2 e, dal grafico mi verrebbe -1 Dove sbaglio?
arigrazie

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geovito

24 apr 2007, 14:49

pardon:
mi troverei la soluzione pi/6

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_Tipper

24 apr 2007, 14:58

Ora ti dico il mio modus operandi: $"arcsin"(x) > \frac{1}{2}$; si osserva che la disequazione ha senso sse $x \in [-1,1]$, in tale intervallo l'arcoseno varia monotonicamente fra $-\frac{\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{2}$; per $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, la funzione $\sin(x)$ è monotona crescente, quindi si può applicare la funzione seno a entrambi i membri della disequazione mantenendone il verso:

$\sin("arcsin"(x)) > \sin(\frac{1}{2})$

il membro a sinistra vale $x$, pertanto la disequazione diventa

$x > \sin(\frac{1}{2})$

e mettendola a sistema con la condizione di esistenza $-1 \le x \le 1$ si trova la soluzione:

$\sin(\frac{1}{2}) < x \le 1$.

Comunque

"vitus":3) seleziono i valori per cui arcsin x<1/2 e, dal grafico mi verrebbe -1

sbagli qui: siamo tutti d'accordo che $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, ma non è vero che $"arcsin"(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Invece è vero che $"arcsin"(\sin(\frac{1}{2})) = \frac{1}{2}$.

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[eugenio.amitrano]

Hai fatto un po' di confusione....
nel grafico dell'arcsin, i valori degli angoli si trovano sull'asse delle ordinate.

[codino75]

"vitus":ciao,
dubbio:la diseq $arcsin x>1/2$ ha per soluzione "pi/6

intuitivamente sembra che tu abbia capito .... pero' devi scrivere piu' correttamente le soluzioni...

[geovito]

in pratica,
se volessi risolvere l'equazione graficamente dorei partire dal valore sulle ordinate per arrivare tramite la funzione arcsin x a leggere il valore sulle ascisse. Donde poi risolvere la disequazione a seconda del segno, giusto?grazie

[codino75]

"vitus":in pratica,
se volessi risolvere l'equazione graficamente dorei partire dal valore sulle ordinate per arrivare tramite la funzione arcsin x a leggere il valore sulle ascisse. Donde poi risolvere la disequazione a seconda del segno, giusto?grazie

se disegni la funzione sin(x), il valore 1/2 lo trovi sulle ordinate, mentre sulle ascisse hai gli angoli, quindi io partirei da sin(x) guardando le ordinate e vedendo dove la funzione e' maggiore di 1/2

[geovito]

ok,
ma il libro mi dà come soluzione: sin 1/2

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[codino75]

"vitus":ok,
ma il libro mi dà come soluzione: sin 1/2

c'e' qualcosa che non va.... sei sicuro di aver riportato bene il testo dell'esercizio e la relativa soluzione?

[geovito]

l'esercizio è $arcsin x>1/2$. la soluzione:$sin 1/2 per un esercizio simile $arcsin x<1$ dà come soluzione -1

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[codino75]

"vitus":l'esercizio è $arcsin x>1/2$. la soluzione:$sin 1/2 per un esercizio simile $arcsin x<1$ dà come soluzione -1

ora che ci penso...mi sa che ho fatto "un po' " di confusione....
quindi disconosci tutto quello che ho scritto...
ci penso e se raggiungo qlke certezza ,,,posto.
ciao

[geovito]

tranquillo, può capitare
grazie x la cortesia

[eugenio.amitrano]

"vitus":ok,
ma il libro mi dà come soluzione: sin 1/2

ora e' tutto piu' chiaro!
Infatti il $sin(1/2)$ non e' $pi/6$

[_Tipper]

Il seno è funzione monotona crescente per $x \in [0, \pi]$ e monotona descrescente per $x \in [\pi, 2 \pi]$ (ho considerato solo il primo quadrante). Pertanto la soluzione della disequazione è data da

$\{(x > \frac{1}{2}),(0 \le x \le \pi):} \quad \vee \quad \{(x < \frac{1}{2}),(\pi \le x \le 2 \pi):}$

Devi poi sonsiderare che la disequazione ha senso solo se $-1 \le x \le 1$.

Dai miei conti risulta che la soluzione è $\frac{1}{2} < x \le 1$.

EDIT: ho scritto un sacco di boiate, rimedio con un altro post.

[_Tipper]

La disequazione ha senso solo se $x \in [-1, 1]$. In tale intervallo l'arcoseno varia monotonicamente fra $-\frac{\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{2}$, e in quest'ultimo intervallo il seno è una funzione monotona crescente, la soluzione si trova risolvendo

$\{(x > \sin(\frac{1}{2})),(-1 \le x \le 1):}$

e risulta

$\sin(\frac{1}{2}) < x \le 1$

[geovito]

per tipper:
dopo qualche giorno di febbre rieccomi, coi i dubbi irrisolti.
Scusami perchè la soluzione è $sin 1/2 La diseq di partenza era $arcsinx<1/2$
grazie

[geovito]

privo a spiegarti il mio modus operandi:
1) tracci il grafico di arcsin x
2) traccio la funzione costante Y= 1/2
3) seleziono i valori per cui arcsin x<1/2 e, dal grafico mi verrebbe -1 Dove sbaglio?
arigrazie

[geovito]

pardon:
mi troverei la soluzione pi/6

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[_Tipper]

Ora ti dico il mio modus operandi: $"arcsin"(x) > \frac{1}{2}$; si osserva che la disequazione ha senso sse $x \in [-1,1]$, in tale intervallo l'arcoseno varia monotonicamente fra $-\frac{\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{2}$; per $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, la funzione $\sin(x)$ è monotona crescente, quindi si può applicare la funzione seno a entrambi i membri della disequazione mantenendone il verso:

$\sin("arcsin"(x)) > \sin(\frac{1}{2})$

il membro a sinistra vale $x$, pertanto la disequazione diventa

$x > \sin(\frac{1}{2})$

e mettendola a sistema con la condizione di esistenza $-1 \le x \le 1$ si trova la soluzione:

$\sin(\frac{1}{2}) < x \le 1$.

Comunque

"vitus":3) seleziono i valori per cui arcsin x<1/2 e, dal grafico mi verrebbe -1

sbagli qui: siamo tutti d'accordo che $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, ma non è vero che $"arcsin"(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Invece è vero che $"arcsin"(\sin(\frac{1}{2})) = \frac{1}{2}$.