$arcsin (1/sqrt(2-x))=arccos (sqrt(1-x)/sqrt(2-x))$
Ciao, amici!
Risolvendo un problema di fisica cui ho accennato in un post precedente mi sono ritrovato davanti a due risultati diversi con metodi di calcolo diversi. Ho allora verificato con http://www.wolframalpha.com e ho notato che $arcsin (1/sqrt(2-x))=arccos (sqrt(1-x)/sqrt(2-x))$.
Come si può dimostrare in una maniera la più semplice possibile? In realtà, con la coincidenza del risultato dei miei calcoli, che non riporto perché piuttosto lunghi e laboriosi, l'ho dimostrato, ma vorrei sapere se c'è qualche sistema più immediato...
Ciao e grazie $+oo$! (cioè fattoriale di infinito
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Risolvendo un problema di fisica cui ho accennato in un post precedente mi sono ritrovato davanti a due risultati diversi con metodi di calcolo diversi. Ho allora verificato con http://www.wolframalpha.com e ho notato che $arcsin (1/sqrt(2-x))=arccos (sqrt(1-x)/sqrt(2-x))$.
Come si può dimostrare in una maniera la più semplice possibile? In realtà, con la coincidenza del risultato dei miei calcoli, che non riporto perché piuttosto lunghi e laboriosi, l'ho dimostrato, ma vorrei sapere se c'è qualche sistema più immediato...
Ciao e grazie $+oo$! (cioè fattoriale di infinito

Risposte
Cominciamo col supporre che non ci siano problemi di segno; poniamoci quindi nel primo quadrante. (EDIT: i due argomenti sono positivi, quindi è realmente così)
Posto $alpha=arcsin(1/sqrt(2-x))$ ricavi $sin alpha=1/sqrt(2-x)$ e quindi
$cos alpha=sqrt(1-sin^2 alpha)=sqrt(1-1/(2-x))=sqrt((1-x)/(2-x))$
da cui la formula che citi.
Posto $alpha=arcsin(1/sqrt(2-x))$ ricavi $sin alpha=1/sqrt(2-x)$ e quindi
$cos alpha=sqrt(1-sin^2 alpha)=sqrt(1-1/(2-x))=sqrt((1-x)/(2-x))$
da cui la formula che citi.
Grazie di cuore!