Archi associati :(

[xXLeGeNdXx]

Salve :)

Perfavore potete spiegarmi gli archi associati?
Noi abbiamo fatto gli archi di misura e i complementari :)

Li ho letti e riletti, ma non ho capito niente :( Non sono riuscito nemmeno a fare un esercizio...

Grazie mille in anticipo :)

[bimbozza]

facciamo così...posta un paio di esercizi (che non siano troppo simili tra loro) che non ti riescono e vedrò di spiegartelo tramite quelli

[xXLeGeNdXx]

Ciao bimbozza :)

Scusa se ti ho risposto solo adesso, ma ho dovuto fare anche altri compiti :(
Scusami ancora :(

Ti posto le immagini degli esercizi.

Della prima fotocopia l'esercizio 1 e 2



Di questa fotocopia l'esercizio 10 e 11 :)



Grazie mille in anticipo :)

[bimbozza]

Scusa l'attesa ma lo scanner non mi funziona ed ho dovuto riprodurre "manualmente" la circonferenza goniometrica che ho sul mio libro. Penso che aiuti molto a comprendere questo argomento.

I modi per svolgere questo esercizio sono 2: o impari a memoria le formule degli angoli associati o te le ricavi ragionandoci.
Trovando più utile la seconda strada, ti spiegherò prima questa.
Osserva la circonferenza goniometrica che ho caricato qui:
http://img521.imageshack.us/img521/8669/circonferenzagoniom.gif

Sull'asse x si legge il coseno, sull'asse y il seno. Ne segue che il seno è positivo nel primo e nel secondo quadrante e negativo nel terzo e quarto, mentre il coseno è positivo nel primo e nel quarto e negativo nel secondo e terzo quadrante.
Qualsiasi angolo può essere studiato riportandoci a quelli del primo quadrante (

[math]0\pi[/math]

,

[math]\pi/6 [/math]

,

[math]\pi/4 [/math]

,

[math]\pi/3[/math]

,

[math]\pi/2[/math]

)
Per spiegarla prendiamo ad esempio

[math]2\pi/3[/math]

.
quest'angolo ha lo stesso seno di

[math]\pi/3[/math]

(infatti tracciando una linea orizzontale dal punto di intersezione tra il raggio della circonferenza che individua l'angolo e la circonferenza stessa per entrambi otteniamo il valore

[math]-\sqrt3/2[/math]

) mentre coseno opposto (da le rispettive intersezioni traccio una linea verticale e vedo che

[math]\pi/3[/math]

ha coseno 1/2 mentre

[math]2\pi/3[/math]

ha coseno -1/2).
Se consideriamo invece

[math]4\pi/3 [/math]

esso ha seno e coseno opposti a

[math]\pi/3[/math]

.

Prendiamo ad esempio l'esercizio 1

[math]sen (\pi/4) +cos( 3 \pi/4) + tg(-5 \pi/4) + ctg (-3 \pi/2)[/math]

Ragionando come sopradetto è facile capire il valore di ogni termine.
sin

[math]\pi/4 [/math]

è noto ed è

[math]\sqrt2/2[/math]

[math]cos(3 \pi/4)[/math]

ha un coseno che è più piccolo di

[math]\pi[/math]

quindi si trova nel secondo quadrante e facciamo riferimento all'angolo

[math]\pi/4 [/math]

(si capisce dal denominatore).
nel secondo quadrante sappiamo che il coseno è negativo quindi, dato che

[math]cos(\pi/4)=-\sqrt2/2 [/math]

,

[math]cos(3\pi/4)[/math]

sarà

[math]-\sqrt2/2[/math]

.
Se volessimo invece usare le formule abbiamo 2 opzioni, ed in entrambe devi per prima scomporre l'angolo come somma o sottrazione di un angolo che corrisponde ad un quadrante (

[math]0 \pi[/math]

,

[math]\pi/2[/math]

,

[math]\pi[/math]

,

[math]3 \pi/2[/math]

,

[math]2\pi[/math]

) più uno degli archi noti. Vediamo le due opzioni:
a)

[math]cos(3\pi/4)= cos(\pi/2+\pi/4)=-cos(\pi/4)=-\sqrt2/2[/math]

b)

[math]cos(3\pi/4)= cos(\pi-\pi/4)=-cos(\pi/4)=-\sqrt2/2[/math]

come vedi il risultato è lo stesso solo che ragionandoti eviti di impararti a memoria tutte queste formule (immagine presa da www.itismattei.it)


per la tangente e la cotangente c'è da fare un discorso in più
(finisco dopo pranzo)

[xXLeGeNdXx]

Ciao bimbozza ti ringrazio per la pronta risposta :)

Una domanda... ma dov'è la circonferenza goniometrica che hai allegato? Non la vedo ;)

[bimbozza]

maremma ha ripreso a non far vedere gli allegati... la carico e l'aggiungo nel post precedente

[xXLeGeNdXx]

Okok grazie mille :)

Speriamo che per la tangente non è difficile :)

Aggiunto 1 ora 57 minuti più tardi:

Ottimo :) Ho capito tutto il seno e il coseno seguendo il primo metodo, quello del ragionamento, che è molto più semplice ;)
Grazie ancora :) Adesso mancano le tangenti e le cotangenti :)

[bimbozza]

Veniamo a tangente e cotangente:
per definizione tgx=sinx/cosx e ctgx=cosx/sinx =>tgx e ctgx sono positive dove seno e coseno sono concordi (primo e terzo quadrante) mentre negative dove sono discordi (secondo e quarto).
Detto questo, se sai i valori della tangente/cotangente degli angoli noti, riuscirai a capire anche i valori di tutti gli altri, altrimenti, se non te li ricordi ma ricordi solo quelli di seno e coseno, ti rifai alla definizione.

Esempio:

[math]tg(5\pi/6)[/math]

è nel 2° quadrante dove la tg è negativa, quindi

[math]tg(5\pi/6)=-tg(\pi/6)=- \sqrt3/3[/math]

oppure

[math]tg(5\pi/6)= sin(5\pi/6)/cos(5\pi/6)=sin(\pi/6)/-cos(\pi/6)=(1/2)/(-\sqrt3/2)=1/\sqrt3=\sqrt3/3[/math]

Altra cosa: quando ti danno un angolo negativo

[math]-5\pi/4[/math]

per capire di quale angolo stiamo parlando, devi fare

[math]2\pi-5\pi/4[/math]

quindi l'angolo corrisponde a

[math]3 \pi/4[/math]

.

Adesso abbiamo tutto ciò che ci serve per fare gli esercizi:

[math]sen (\pi/4) +cos( 3 \pi/4) + tg(-5 \pi/4) + ctg (-3 \pi/2)[/math]

[math] \sqrt2/2-\sqrt2/2-1+0=-1[/math]

gli altri 3 esercizi mi sembrano tutti molto simili, ti svolgo solo l'11 visto che ha giusto i termini al quadrato di diverso (ma se hai capito il procedimento, è sempre lo stesso)

[math]\frac{tg^2(5\pi/3)+ctg^2(-\pi/6)}{sin^2(-2\pi/3)+cos^2(4\pi/3)}[/math]

[math]\frac{(-tg(\pi/3))^2+(-ctg(\pi/6))^2}{sin^2(4\pi/3)+cos^2(4\pi/3)}[/math]

dalla relazione fondamentale sin^2x+cos^2x=1 semplifichiamo il denominatore

[math]\frac{(-\sqrt3)^2+(-\sqrt3)^2}{1}[/math]

[math]3+3=6[/math]

Prova a fare gli altri da te, se hai dubbi o non ti tornano, chiedi pure