Approsimazione della distribuzione di poisson con la normale

[issima07]

La produzione di un bene economico ha un tasso di difettosità del 1%. In un lotto di 5000 pezzi calcolare, approssimando la distribuzione di poisson con la distribuzione normale,la probabilità che il numero di prezzi difettosi sia :
Compreso fra 40 e 65

mi potete spiegare i passaggi per favore?
Ho provato in tutti i modi e non mi esce...grazie!!

[ciampax]

Dunque, sono un po' arrugginito con sta roba, ma dovrebbe essere così. La distribuzione di Poisson è definita dalla seguente densità di probabilità

[math]\frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}[/math]

dove

[math]\lambda[/math]

è il valore atteso. Quando tale numero è sufficientemente grande, si può approssimare questa distribuzione con la distribuzione normale avente valore atteso e varianza entrambi pari a

[math]\lambda[/math]

, e quindi con densità di probabilità data dalla formula

[math]\frac{1}{\sqrt{2\pi\lambda}} e^{-\frac{(x-\lambda)^2}{2\lambda}}[/math]

.

Ora, sta tutto a capire quanto vale

[math]\lambda[/math]

in questo caso. Visto che tale parametro rappresenta il numero di volte che una certa cosa accada in un dato insieme, e visto che tu vuoi calcolare la probabilità di quanti pezzi difettosi ci siano, allora

[math]\lambda=1%\cdot 5000=50[/math]

.

A questo punto, la probabilità che i pezzi difettosi cadano tra 40 e 65 è data dal seguente integrale:

[math]P(40\leq x\leq 65)=\int_{40}^{65}\frac{1}{\sqrt{2\pi\lambda}} e^{-\frac{(x-\lambda)^2}{2\lambda}}\ dx[/math]

.

A questo punto, suppongo esistano delle tabelle per valutare questi valori. Mi pare di ricordare che puoi fare così: visto che

[math]40=\lambda-10,\qquad 65=\lambda+15,[/math]

e che

[math]10=\frac{1}{5}\lambda,\qquad 15=\frac{3}{5}\lambda[/math]

stai valutando la probabilità che accada la cosa seguente

[math]P\left(\lambda-\frac{1}{5}\lambda\leq x\leq \lambda+\frac{3}{5}\lambda\right)[/math]

e quindi dalle tabelle dovresti trovare il valore cercato (credo che si aggiri attorno al 25-30 %, se non sbaglio, ma purtroppo non ho tabelle a portata di mano.)