Applicazioni lineari
Potreste darmi una definizione rigorosa di applicazione lineare, facendo magari qualche esempio??
Grazie.
Grazie.
Risposte
"giuseppe87x":
Potreste darmi una definizione rigorosa di applicazione lineare, facendo magari qualche esempio??
Grazie.
un'applicazione lineare è una funzione tra due spazi vettoriali che goda di omogeneità e additività, in altre parole
T : V(K) ---> W(K)
$T(v_1 + v_2) = T(v_1)+T(v_2)$ $AA v_1, v_2 inV$
$T(av)=aT(v)$ $AA v in V, a inK$
qualche esempio? rotazioni, riflessioni, proiezioni di uno spazio in un suo sottospazio, più un'infinità di altre meno "notevoli", anche la derivazione di un polinomio è lineare
Tipicamente la nozione di mappa lineare è data sugli spazi vettoriali, ed è così che farò anch'io, sebbene siano anche possibili delle generalizzazioni. Supponiamo perciò che $F_1, F_2$ siano dei campi, con $F_1 \subseteq F_2$, e che $V_1$ e $V_2$ siano degli spazi vettoriali su $F_1$ ed $F_2$, rispettivamente. Una mappa $f: V_1 \to V_2$ si dirà allora lineare sse $f(a_1 v_1 + a_2 v_2) = a_1 f(v_1) + a_2 f(v_2)$, per ogni $a_1, a_2 \in F_1$ ed ogni $v_1, v_2 \in V_1$, essendo implicitamente chiaro dal contesto dove vivono le operazioni di somma e prodotto che figurano a primo e secondo membro della relazione indicata.
Es. 1: fissato $a \in \mathbb{R}$, la funzione $\mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \to ax$ è lineare. Viceversa, se $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è lineare, allora esiste un unico $a \in \mathbb{R}$ tale che $f(x) = ax$, per ogni $x \in \mathbb{R}$.
Es. 2: se $V$ è lo spazio delle funzioni derivabili in un intervallo aperto non degenere $]a,b[$ della retta reale, allora la mappa $V \to C^0(]a,b[):$ che ad ogni $x \in V$ associa la sua derivata prima è una applicazione lineare di uno spazio funzionale in un altro.
Es. 3: se $V$ è lo spazio delle funzioni a valori reali Riemann-integrabili su un intervallo chiuso e limitato non degenere $[a, b] \subseteq \mathbb{R}$, la mappa $V \to \mathbb{R}: x \to \int_a^b x(t) dt$ è una funzione lineare su $V$.
Es. 4: se $(H, < \cdot >)$ è uno spazio unitario complesso ed $y \in H$, la mappa $\varphi: H \to \mathbb{C}: x \to$ è una funzione lineare continua (cioè un funzionale su $H$). Viceversa, se $f$ è un funzionale lineare continuo su $H$, allora esiste univocamente determinato $y \in H$ tale che $f(x) = $, per ogni $x \in H$.
...and so on going...
Es. 1: fissato $a \in \mathbb{R}$, la funzione $\mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \to ax$ è lineare. Viceversa, se $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è lineare, allora esiste un unico $a \in \mathbb{R}$ tale che $f(x) = ax$, per ogni $x \in \mathbb{R}$.
Es. 2: se $V$ è lo spazio delle funzioni derivabili in un intervallo aperto non degenere $]a,b[$ della retta reale, allora la mappa $V \to C^0(]a,b[):$ che ad ogni $x \in V$ associa la sua derivata prima è una applicazione lineare di uno spazio funzionale in un altro.
Es. 3: se $V$ è lo spazio delle funzioni a valori reali Riemann-integrabili su un intervallo chiuso e limitato non degenere $[a, b] \subseteq \mathbb{R}$, la mappa $V \to \mathbb{R}: x \to \int_a^b x(t) dt$ è una funzione lineare su $V$.
Es. 4: se $(H, < \cdot >)$ è uno spazio unitario complesso ed $y \in H$, la mappa $\varphi: H \to \mathbb{C}: x \to
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David, fai il topologo? (già il termine "mappa" anzichè "applicazione" o "funzione" è abbastanza sintomatico 
). ciao.
). ciao.
Grazie ragazzi
Penso che in questo periodo sia innamorato della topologia...
Comunque volevo chiedervi un'altra cosa: applicazione lineare ed endomorfismo sono la stessa cosa?
"wedge":
David, fai il topologo? (già il termine "mappa" anzichè "applicazione" o "funzione" è abbastanza sintomatico Very Happy ). ciao.
Penso che in questo periodo sia innamorato della topologia...
Comunque volevo chiedervi un'altra cosa: applicazione lineare ed endomorfismo sono la stessa cosa?
un endomorfismo è un'applicazione lineare di un insieme in se stesso T: V ---> V
"giuseppe87x":
[...] applicazione lineare ed endomorfismo sono la stessa cosa?
No. Un endomorfismo è appunto un morfismo (qui applicazione) lineare di uno spazio in sé. Anche qui il concetto si può generalizzare a strutture algebriche molto meno ricche degli spazi vettoriali, ma vabbè... L'idea è sostanzialmente la stessa.
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