Applicazione teoremi funzioni continue!!!

[dilettabenedetti]

Ciao a tutti, il mio insegnante mi ha proposto alcuni esercizi teorici di applicazione dei teoremi di Bolzano, Weiwstrass e valori intermedi, ma non riesco a capire come impostare un ragionamento!
sarebbero:


1:

f(x) = tg(x)

f(pi greco/4)= 1
f(3/4 pi greco) = -1

ma f(x) diverso da zero qualunque x appartenente all'intervallo [pigreco/4 ; 3/4 pigreco]

Spiegare perchè ciò non contraddice il teorema di bolzano

2:

sia f(x) : [a;b] una funzione continua e f(a)
Dimostra che f possiede un punto fisso in [a;b] tale che f(c)=c

3:

Sia f una funzione continua in [a;b] --> Dimostra che l'immagine della funzione è un intervallo chiuso e limitato



Potete darmi una mano? Grazie!

[burm87]

Per il primo: se non sbaglio le ipotesi del teorema di Bolzano prevedono che la tua funzione sia continua nell'intervallo considerato. Nel tuo caso l'intervallo è $[pi/4;3/4pi]$ e in questo intervallo la tua $f(x)=tgx$ non è continua.

[dilettabenedetti]

Secondo me invece è continua perchè il testo diche che f(x) è diversa zero nell'intervallo! Quindi per questo non dovrebbe contraddire il teorema di Bolzano? Gli altri sapresti spiegarmeli?

[burm87]

L'essere uguale/diverso da zero non ha a che vedere con la continuità. La funzione $tgx$ nell'intervallo $[pi/4;3/4pi]$ non mi pare sia continua.

[dilettabenedetti]

Ok....


Il secondo esercizio qualcuno è in grado di farlo? Forse il terzo l'ho capito

[gio73]

"Pellegrini":
2:

sia $f(x) : [a;b]$ una funzione continua e $f(a)
Dimostra che f possiede un punto fisso in $[a;b]$ tale che $f(c)=c$

Se metti il simbolo del dollaro prima e dopo le formule esse risulteranno più leggibili.
Detto ciò deve essere effettivamente $f(a) Non potrebbe essere $f(a)b$?

[size=80]ho cambiato il verso di una disuguaglianza[/size]

[@melia]

Nel secondo esercizio mancano dei dati, con quelle ipotesi è falso e per dimostrarlo ti faccio un controesempio:
Se la funzione è definita continua in $[1; 2]$ e vale $f(x)= 2x-7$, sono verificate anche le ipotesi che $f(1)= -5 <1$ e $f(2) = -3 <2$, ma l'unico punto in cui $f(x)=x$ è $x=7$ che non appartiene all'intervallo $[1; 2]$, quindi $c in [1; 2]$ non esiste.

[dilettabenedetti]

Hp:

f : [a;b] --> R f continua

$ f(a) <= a $ e $ f(b) <= b $

Th:

f possiede un punto fisso in [a;b] cioè f(c) = c


Questo è il testo scritto un po' meglio spero!

[dilettabenedetti]

Volevo scrivere minore o uguale ma temo di aver fatto un pastrocchio!

[@melia]

Ho corretto io, non preoccuparti, ma vale ancora il controesempio che ti ho postato. Non è che il testo fosse scritto male, è che le ipotesi non bastano perché sia verificata la tesi.