Applicazione teorema di Lagrange

[Nicholas_ASR]

Devo verificare se questa funzione (sul libro c'è f(x) e partono due frecce) $f(x)=-x^2/2+3/2$ con x<1 e $f(x)=1/x$ con $x>=1$ soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell'intervallo $I=[0;2]$ e trovare i punti dell'intervallo che verificano il teorema.
Io ho fatto le derivate delle due funzioni della prima che ho scritto mi è venuto $-x$ della seconda $-1/x^2$.
Per trovare il punto ho applicato il teorema di Lagrange e ho fatto $f(b)-f(a)=f'(x)(b-a)$ soltanto che non mi vengono i risultati del libro potreste farmi sapere quanto viene a voi e magari mostrarmi il passaggio almeno vedo di capire dove ho sbagliato

[chiaraotta1]

Per favore puoi scrivere i passaggi che hai fatto, i risultati che hai ottenuto e quelli che propone il tuo libro?

[Nicholas_ASR]

Io ho applicato la formula $f(b)-f(a)=f'(x)(b-a)$ sostituendo gli estremi dell'intervallo come dice il teorema cioè a=0 e b=2
Nel caso della prima parte di f(x) mi è venuto $-4/2+3/2-3/2=-2x$ svolgendo i calcoli mi viene x=1 e al libro viene 1/2.
Nella seconda parte mi è venuto $1/2=-2/x^2$ e mi viene $x^2=-4$ mentre al libro viene $root2(2)$

[chiaraotta1]

Dopo aver verificato che la funzione soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange, calcolo
$(f(b)-f(a))/(b-a)=(f(2)-f(0))/(2-0)=(1/2-3/2)/2=-1/2$.
Ponendo
$f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)=-1/2 $
trovo che
1) se $0<=x<1$, sia $f'(x)=-x$ e dunque
$-c=-1/2->c=1/2$, che è accettabile;
2) se $1<=x<=2$, sia $f'(x)=-1/x^2$ e dunque
$-1/c^2=-1/2->c^2=2->c=+-sqrt(2)$,
ma delle due soluzioni solo la $c=+sqrt(2)$ è accettabile, perché compresa nell'intervallo $[1, 2[$.

[Nicholas_ASR]

Non ho capito quando hai scritto trovo che cioè io ho fatto così dove sbaglio?
$f(b)-f(a)=f'(x)(b-a)$ dato che f(b) è $-1/2$ e f(a) è $3/2$ mi viene x=1 perché metti c cosa centra? perché cambi il segno e metti quelle disequazioni ? non mi sono chiare quelle parti..

[chiaraotta1]

Il valore della funzione all'estremo superiore è $f(b)=f(2)=1/2$ e non $-1/2$, come scrivi tu. Perciò $(f(b)-f(a))/(b-a)=-1/2$.
Quindi si deve cercare per quali valori $c$, interni all'intervallo $(0, 2)$, la derivata della funzione sia $=-1/2$.
Cioè basta calcolare la derivata e risolvere l'equazione $f'(c)=-1/2$, accettando solo soluzioni interne all'intervallo $(0, 2)$.

[Nicholas_ASR]

Ma quando faccio $f(b)=f(2)=-(2^2)/2+3/2$ viene $1/2$...

[anonymous_c5d2a1]

Per $x>=1$ la funzione è definita in quel modo cioè $f(x)=1/x$, quindi perchè tu la calcoli considerando $f(x)=-x^2/2+3/2$?

[Nicholas_ASR]

Quindi spiegami un attimo se ho capito bene... Io sostituisco a f(b) quella con 1/x mentre ad f(a) l'altra non avevo capito a cosa servisse infatti la x>=1..

[anonymous_c5d2a1]

La tua $f(x)$ come è definita? Li sta l'errore che commetti.

[Nicholas_ASR]

Sisi ho capito l'errore grazie ora mi viene bene!