Applicazione teorema del resto
Ciao,
sapreste dirmi se è possibile, nel caso avessi un polinomio $A(x)$ e uno $B(x)$, quest'ultimo di grado superiore al primo ma scomponibile in fattori di primo grado, determinare, tramite il Teorema del resto, il resto della divisione $A(x)/B(x)$?
Per esempio come posso risolvere il seguente esercizio?
Trova k in modo che il polinomio $P(x)=4x^3-kx^2+kx+k$ sia divisibile per $x^2-1$.
Grazie mille in anticipo per l'aiuto
sapreste dirmi se è possibile, nel caso avessi un polinomio $A(x)$ e uno $B(x)$, quest'ultimo di grado superiore al primo ma scomponibile in fattori di primo grado, determinare, tramite il Teorema del resto, il resto della divisione $A(x)/B(x)$?
Per esempio come posso risolvere il seguente esercizio?
Trova k in modo che il polinomio $P(x)=4x^3-kx^2+kx+k$ sia divisibile per $x^2-1$.
Grazie mille in anticipo per l'aiuto
Risposte
Se $B(x)$ è un polinomio scomponibile in fattori, $A(x)$ è divisibile per $B(x)$ se e solo se è divisibile per tutti i fattori di $B(x)$. Se i fattori sono polinomi monici di primo grado, per verificare la divisibilità è sufficiente applicare separatamente il teorema del resto ad ogni fattore di $B(x)$ e controllare se il criterio per la divisibilità è verificato per tutti i fattori.
Applichiamo quanto detto al tuo esempio: affinché $P(x)$ sia divisibile per $x^2-1$, dev'essere divisibile sia per $x-1$ che per $x+1$. Basta quindi applicare il teorema del resto per $x-1$ e per $x+1$ e per entrambi imporre la condizione di divisibilità, ovvero dobbiamo imporre $P(1)=P(-1)=0$.
Applichiamo quanto detto al tuo esempio: affinché $P(x)$ sia divisibile per $x^2-1$, dev'essere divisibile sia per $x-1$ che per $x+1$. Basta quindi applicare il teorema del resto per $x-1$ e per $x+1$ e per entrambi imporre la condizione di divisibilità, ovvero dobbiamo imporre $P(1)=P(-1)=0$.
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