Applicazione del teorema di Rolle
Salve a tutti stiamo studiando in questo periodo i vari teoremi di Rolle, Lagrange,...
Un'esercizio chiede:
"Stabilisci se l'equazione $lnx+2x=0$ ammette una sola soluzione nell'intervallo $[1/8;1]$"
Come si risolve?
Grazie a tutti!
Un'esercizio chiede:
"Stabilisci se l'equazione $lnx+2x=0$ ammette una sola soluzione nell'intervallo $[1/8;1]$"
Come si risolve?
Grazie a tutti!
Risposte
bisogna utilizzare il teorema di esistenza degli zeri (per l'esistenza, appunto) e le conseguenze del teorema di Lagrange per l'unicità.
la funzione $f(x)=lnx+2x$ verifica le condizioni di Lagrange, nel senso che è continua in $[1/8, 1]$ e derivabile in $(1/8, 1)$.
assume valori di segno opposto agli estremi: $f(1/8)="circa "-1.83$, $f(1)=2$. essendo continua assume tutti i valori compresi tra f(1/8) e f(1) almeno una volta, e lo zero è tra questi (ho mescolato un po' di cose, usando anche il teorema dei valori intermedi..., è la stessa cosa).
inoltre $f'(x)=1/x+2$ è sempre positiva nell'intervallo, per cui f è strettamente crescente. dunque è anche iniettiva, per cui tutti i valori che assume, li assume una sola volta nell'intervallo, dunque anche lo zero.
spero sia chiaro. ciao.
la funzione $f(x)=lnx+2x$ verifica le condizioni di Lagrange, nel senso che è continua in $[1/8, 1]$ e derivabile in $(1/8, 1)$.
assume valori di segno opposto agli estremi: $f(1/8)="circa "-1.83$, $f(1)=2$. essendo continua assume tutti i valori compresi tra f(1/8) e f(1) almeno una volta, e lo zero è tra questi (ho mescolato un po' di cose, usando anche il teorema dei valori intermedi..., è la stessa cosa).
inoltre $f'(x)=1/x+2$ è sempre positiva nell'intervallo, per cui f è strettamente crescente. dunque è anche iniettiva, per cui tutti i valori che assume, li assume una sola volta nell'intervallo, dunque anche lo zero.
spero sia chiaro. ciao.
grazie mille!
prego!
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