Applicazione del teorema di Lagrange

[mathos2000]

Salve, gradirei suggerimenti per capire in che senso si debba applicare Lagrange alla seguente richiesta:

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Avevo idea di trovare il punto c garantito dal teorema di Lagrange e poi sostituirlo nell'equazione per vedere se vien fuori un'identità.

Il problema è che trovato il valore di $f'(c)$ per trovare c giungo a un'equazione da cui poi non riesco a uscirne fuori: $ln2e-1/e=1/x+e^(-x+1)$

[anto_zoolander]

l'idea è probabilmente quella che hai usato tu stesso ovvero considerare

$(f(2)-f(1))/(2-1)=f'(x)$ con $x in (1,2)$ per il teorema.

$f(2)=ln2+1$ e $f(1)=0+e$

quindi viene $ln(2)+1-e=1/x-e^(2-x)$

ma se l'autore vuole che da questa esca quella equazione, con questo procedimento, ci deve essere un errore o nel tuo o nel suo testo perchè non torna.

[mathos2000]

Questo è il testo del quesito posto.

[anto_zoolander]

se ci fai caso lo hai scritto male, ma di assai.
Così torna infatti presa $f(x)=lnx-e^(1-x)$ si ha che per Lagrange deve esistere $x in (0,1)$ tale che

$f(2)-f(1)=f'(x)$

ora $f(2)=ln2-1/e$ , $f(1)=-1$ e $f'(x)=1/x+e^(1-x)$

quindi $ln2-1/e+1=1/x+e^(1-x)$ da cui moltiplicando per $(ex)$

diventa $(ex)ln2-x+(ex)=e+xe^(2-x)$

$(ex)ln2+(ex)-e=x+xe^(2-x)$

$e(xln2+x-1)=x(1+e^(2-x))$