Applicare la definizione di limite

[paolo20061]

Salve, ora che ho più tempo libero ho deciso di ri-studiare per conto mio la matematica che mi hanno insegnato tanti anni fa all'istituto tecnico.

Sto incontrando difficoltà nell'applicazione della definizione di limite di una successione. Spero di potermi spiegare con un esempio.

Supponiamo che voglia verificare se il limite della successione (n+2)/(n+3) per n che tende ad infinito è 2.
La definizione dice che per ogni epsilon scelto a piacere maggiore di zero esiste un numero n0 (dipendente da epsilon) tale che, per ogni n naturale maggiore di n0, la distanza tra il termine ennesimo della successione ed il limite (espressa da |(n+2)/(n+3) - 2|) è minore dell'epsilon scelto.

Da ciò mi aspetto che, se il limite della successione data non vale 2 (come nel caso trattato, dove il valore del limite è 1), il suddetto n0 non esista, e quindi non sia possibile calcolarlo. Svolgendo i calcoli invece trovo che n0 esiste e risulta maggiore di (4-3*epsilon)/(epsilon-1).

|(n+2)/(n+3) - 2| < epsilon, per ogni epsilon > 0
|(n+2)/(n+3) - 2| = (n+4)/(n+3) < epsilon
(n+4) < epsilon*n +epsilon*3
n > (4-3*epsilon)/(epsilon-1)

Qualcuno mi spiega che errori ho commesso nel procedimento esposto?

Grazie!

[Platone2]

Hai sbagliato a "eliminare" la norma (in questo caso il valore assoluto).
La proprieta' da usare e' questa:
|x|
Platone