Angolo alla circonferenza e corrispondente angolo al centro
Salve a tutti,
vorrei un vostro parere sul metodo che ho applicato per dimostrare quanto segue:
Dato un cerchio avente il centro in un qualsiasi punto $O$ del piano e presi tre punti $A$, $V$ e $B$ sulla circonferenza per i quali il centro $O$ risulti esterno all'arco di circonferenza $hat{V A B}$ [$A$ è compreso tra $V$ e $B$], dimostrare che l'angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro.
Il mio percorso è stato questo (mi dispiace ma dovreste disegnarlo!!):
Tracciato il segmento $\bar{AB}$, ho preso in esame i triangoli $AVB$, $AOB$ e $AVO$. Per facilità di comprensione, ho assegnato una lettera greca a ciascuno dei seguenti angoli:
$hat{A V B}$ = $\alpha$
$hat{A O B}$ = $\beta$
$hat{O A V}$ = $\gamma$
$hat{B A O}$ = $\delta$
$hat{A B V}$ = $\epsilon$
$hat{V B O}$ = $\theta$
$hat{B V O}$ = $\lambda
La tesi, dunque, è che $\beta = 2*\alpha$.
Presi in esame i due triangoli $AVB$ e $AOB$, dovendo essere la somma degli angoli interni uguale a 180° ne segue che $\alpha = 180 - \delta - \epsilon - \theta$ e che $\beta = 180 - \epsilon - \gamma - \delta$. Sottraendo membro a membro, ottengo dunque che $\beta - \alpha = \gamma - \theta$.
Ora, essendo $\bar{AO} = \bar{VO}$, l'angolo $hat{O V A}$ è uguale all'angolo $\gamma$, essendo $AVO$ un triangolo isoscele. L'angolo $hat{O V A}$ è uguale alla somma $\alpha$ con l'angolo $\lambda$, che è uguale a $\theta$, essendo anche $BVO$ un triangolo isoscele. L'angolo $\gamma$ è dunque uguale a $\alpha + \theta$. Per l'espressione ottenuta precedentemente, dunque, $\beta - \alpha = \alpha + \theta - \theta$, dunque $\beta = 2*\alpha$.
Mi sembra una dimostrazione un po' troppo "empirica"... voi che ne pensate? Come ci arrivereste?
Grazie!
EDIT (dopo averci riflettuto ulteriormente per un po' di tempo)
Che stupido... il Teorema dell'angolo esterno! Visto che i due triangoli $OVB$ e $AVO$ sono isosceli, l'angolo esterno opposto alla base è uguale al doppio degli angoli interni alla base... a questo punto si fa la differenza e con un paio di passaggi facili facili il gioco è fatto...
vorrei un vostro parere sul metodo che ho applicato per dimostrare quanto segue:
Dato un cerchio avente il centro in un qualsiasi punto $O$ del piano e presi tre punti $A$, $V$ e $B$ sulla circonferenza per i quali il centro $O$ risulti esterno all'arco di circonferenza $hat{V A B}$ [$A$ è compreso tra $V$ e $B$], dimostrare che l'angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro.
Il mio percorso è stato questo (mi dispiace ma dovreste disegnarlo!!):
Tracciato il segmento $\bar{AB}$, ho preso in esame i triangoli $AVB$, $AOB$ e $AVO$. Per facilità di comprensione, ho assegnato una lettera greca a ciascuno dei seguenti angoli:
$hat{A V B}$ = $\alpha$
$hat{A O B}$ = $\beta$
$hat{O A V}$ = $\gamma$
$hat{B A O}$ = $\delta$
$hat{A B V}$ = $\epsilon$
$hat{V B O}$ = $\theta$
$hat{B V O}$ = $\lambda
La tesi, dunque, è che $\beta = 2*\alpha$.
Presi in esame i due triangoli $AVB$ e $AOB$, dovendo essere la somma degli angoli interni uguale a 180° ne segue che $\alpha = 180 - \delta - \epsilon - \theta$ e che $\beta = 180 - \epsilon - \gamma - \delta$. Sottraendo membro a membro, ottengo dunque che $\beta - \alpha = \gamma - \theta$.
Ora, essendo $\bar{AO} = \bar{VO}$, l'angolo $hat{O V A}$ è uguale all'angolo $\gamma$, essendo $AVO$ un triangolo isoscele. L'angolo $hat{O V A}$ è uguale alla somma $\alpha$ con l'angolo $\lambda$, che è uguale a $\theta$, essendo anche $BVO$ un triangolo isoscele. L'angolo $\gamma$ è dunque uguale a $\alpha + \theta$. Per l'espressione ottenuta precedentemente, dunque, $\beta - \alpha = \alpha + \theta - \theta$, dunque $\beta = 2*\alpha$.
Mi sembra una dimostrazione un po' troppo "empirica"... voi che ne pensate? Come ci arrivereste?
Grazie!
EDIT (dopo averci riflettuto ulteriormente per un po' di tempo)
Che stupido... il Teorema dell'angolo esterno! Visto che i due triangoli $OVB$ e $AVO$ sono isosceli, l'angolo esterno opposto alla base è uguale al doppio degli angoli interni alla base... a questo punto si fa la differenza e con un paio di passaggi facili facili il gioco è fatto...
Risposte
[citazione]
Dato un cerchio avente il centro in un qualsiasi punto O del piano e presi tre punti A, V e B sulla circonferenza per i quali il centro O risulti esterno all'arco di circonferenza VAB [A è compreso tra V e B], dimostrare che l'angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro.
["centro esterno ad un arco" non si può sentire]
fatico a seguire i passaggi, però posso fare due "appunti":
in positivo, si applicano esattamente le regole che hai citato, nel senso che si utilizzano le proprietà dei triangoli isosceli ed il 2° teorema dell'angolo esterno;
in negativo, il teorema è generale, e quindi la dimostrazione è suddivisa in più fasi ma non riguarda una costruzione particolare: sei tu in maniera esplicita che dici che prima dimostri il teorema in due casi particolari e poi mostri la generalizzazione, utilizzando le dimostrazioni particolari che hai già fatto.
OK? ciao.
Dato un cerchio avente il centro in un qualsiasi punto O del piano e presi tre punti A, V e B sulla circonferenza per i quali il centro O risulti esterno all'arco di circonferenza VAB [A è compreso tra V e B], dimostrare che l'angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro.
["centro esterno ad un arco" non si può sentire]
fatico a seguire i passaggi, però posso fare due "appunti":
in positivo, si applicano esattamente le regole che hai citato, nel senso che si utilizzano le proprietà dei triangoli isosceli ed il 2° teorema dell'angolo esterno;
in negativo, il teorema è generale, e quindi la dimostrazione è suddivisa in più fasi ma non riguarda una costruzione particolare: sei tu in maniera esplicita che dici che prima dimostri il teorema in due casi particolari e poi mostri la generalizzazione, utilizzando le dimostrazioni particolari che hai già fatto.
OK? ciao.
Mi sono confuso mentre scrivevo. La locuzione corretta è "il centro O è esterno all'angolo alla circonferenza AVB"
Non ho capito molto il tuo appunto in negativo... il caso in questione è uno solo, per la precisione una parte di un esercizio.
L'esercizio del libro porta quattro casi diversi, e per ognuno di questi chiede di dimostrare che l'angolo alla circonferenza è la metà dell'angolo al cerchio che insiste sullo stesso arco di circonferenza, chiedendo alla fine quale sia il rapporto tra tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sul medesimo arco.
Ecco l'esercizio completo:
""Facendo riferimento alla figura, dimostrare che un angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro, ed in particolare che nel caso l'angolo al centro sia piatto, l'angolo alla circonferenza, che risulta in tal caso iscritto in una semicirconferenza, è retto. Come sono tra loro tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sul medesimo arco?
caso a) il centro O appartiene al lato VB
caso b) il centro O è interno all'angolo alla circonferenza $hat{A V B}$
caso c) il centro O è esterno all'angolo alla circonferenza $hat{A V B}$
caso d) AB è un diametro.
""
Non ho capito molto il tuo appunto in negativo... il caso in questione è uno solo, per la precisione una parte di un esercizio.
L'esercizio del libro porta quattro casi diversi, e per ognuno di questi chiede di dimostrare che l'angolo alla circonferenza è la metà dell'angolo al cerchio che insiste sullo stesso arco di circonferenza, chiedendo alla fine quale sia il rapporto tra tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sul medesimo arco.
Ecco l'esercizio completo:
""Facendo riferimento alla figura, dimostrare che un angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro, ed in particolare che nel caso l'angolo al centro sia piatto, l'angolo alla circonferenza, che risulta in tal caso iscritto in una semicirconferenza, è retto. Come sono tra loro tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sul medesimo arco?
caso a) il centro O appartiene al lato VB
caso b) il centro O è interno all'angolo alla circonferenza $hat{A V B}$
caso c) il centro O è esterno all'angolo alla circonferenza $hat{A V B}$
caso d) AB è un diametro.
""
nel primo post parlavi di VAB (ed hai specificato A compreso tra V e B), ora sembra invece che si debba intendere AVB...
spero di aver capito la figura...
i casi b) e c) utilizzano la dimostrazione già fatta del caso a); il caso d) è un caso particolare; poi manca un caso: un particolare tipo di angolo alla circonferenza è quello tra la corda e la tangente. questo caso, che provo a descriverti in dettaglio, ed il caso a) sono quelli che io dicevo si dimostrano preliminarmenete.
se consideri la corda AB e le due rette tangenti alla circonfereza, una per A e una per B, queste si incontrano in un punto P esterno alla circonferenza. il triangolo ABP risulta isoscele: prova a dimostrarlo. gli angoli ABP e BAP sono anch'essi al metà dell'angolo AOB.
per ora mi fermo qui. se hai osservazioni, esprimile pure!
ciao.
spero di aver capito la figura...
i casi b) e c) utilizzano la dimostrazione già fatta del caso a); il caso d) è un caso particolare; poi manca un caso: un particolare tipo di angolo alla circonferenza è quello tra la corda e la tangente. questo caso, che provo a descriverti in dettaglio, ed il caso a) sono quelli che io dicevo si dimostrano preliminarmenete.
se consideri la corda AB e le due rette tangenti alla circonfereza, una per A e una per B, queste si incontrano in un punto P esterno alla circonferenza. il triangolo ABP risulta isoscele: prova a dimostrarlo. gli angoli ABP e BAP sono anch'essi al metà dell'angolo AOB.
per ora mi fermo qui. se hai osservazioni, esprimile pure!
ciao.
Allora, vediamo di dimostrarlo... il triangolo $ABP$ risulta isoscele perché il segmento $bar{AB}$ taglia in due parti uguali tra loro gli angoli $hat{P A O}$ e $hat{P B O}$. Il triangolo $PAO$ è rettangolo, quindi $hat{P A B}$ è complementare a $hat{A P O}$. Anche il triangolo $AQO$ (cosiderato $Q$ il punto di intersezione tra $bar{AB}$ e $bar{PO}$) è rettangolo, quindi $hat{Q O A}$ è complementare a $hat{Q A O}$. I triangoli $PAO$ e $AOQ$, avendo due angoli ordinatamente uguali, sono due triangoli simili e quindi anche il terzo angolo è uguale. Il "terzo angolo" in questione è l'angolo $hat{QOA}$ per il triangolo $AOQ$ e $hat{PAQ}$ per $PAQ$. Dato che $hat{PAB}$ è uguale a $hat{BAP}$ ed essendo $QO$ bisettrice di $hat{AOB}$, allora i due angoli sono entrambi la metà di $hat{AOB}$.
Giusto?
Giusto?
in maniera più semplice, ABO è isoscele, quindi gli angoli OAB e OBA sono congruenti. allora gli angoli PAB e PBA (rispettivi complementari) sono congruenti.
è chiaro? ciao.
è chiaro? ciao.
Scusa, però il fatto che i due angoli sono congruenti ed entrambi complementari rispettivamente a $hat{OAB} e $HAT{OBA} non dimostra che i siano entrambi la metà di $hat{AOB}$... o mi sfugge qualcosa?
no, questo dimostra solo che il triangolo ABP è isoscele. però, chiamiamo $OAB=OBA=alpha, PAB=PBA=beta, AOB=gamma$, risulta $alpha+beta=90^o, " e raddoppiando "2alpha+2beta=180^o, " ma risulta anche " 2beta+gamma=180^o, " dunque " 2alpha=gamma$. scusami, ma prima mi era sembrato che volessi dimostrare solo che il triangolo fosse isoscele. così ti sembra più semplice? è chiaro? ciao.
Ah ecco!
Si si, tutto chiaro... grazie!
Si si, tutto chiaro... grazie!
prego!
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