Angoli trapezio isoscele

[sussolini1]

ciao a tutti, dovrei calcolarmi gli angoli di un trapezio isoscele inscritto in una circonferenza di raggio $r$ sapendo le due basi AB (maggiore) e CD (minore) rispettivamente $r$ e $r*sqrt(3)$

so solo che gli angoli adiacenti alle basi sono uguali, per il resto non so come iniziare, suggerimenti??

[Studente Anonimo]

"sussolini":
... sapendo le due basi AB (maggiore) e CD (minore) rispettivamente $r$ e $rsqrt3$ ...

Intanto, se $AB$ è la base maggiore e $CD$ è la base minore, necessariamente:

$[bar(AB)=rsqrt3] ^^ [bar(CD)=r]$

Inoltre, trattandosi di due corde notevoli:

Teorema della corda

$[bar(AB)=2rsin\theta] ^^ [bar(AB)=rsqrt3] rarr [sin\theta=sqrt3/2] rarr [\theta=60°]$

$[bar(CD)=2rsin\theta] ^^ [bar(CD)=r] rarr [sin\theta=1/2] rarr [\theta=30°]$

essendo $\theta$ l'angolo acuto alla circonferenza che insiste sulla corda (quello ottuso è il supplementare). A questo punto, eventualmente utilizzando il fatto che gli angoli opposti di un quadrilatero inscritto in una circonferenza sono supplementari, con l'aiuto di una figura dovresti riuscire a concludere.

P.S.
Tutte le volte che, in un esercizio, per quanto riguarda una corda $AB$:

$[bar(AB)=r] rarr [\theta=30°]$

$[bar(AB)=rsqrt2] rarr [\theta=45°]$

$[bar(AB)=rsqrt3] rarr [\theta=60°]$

immediatamente, senza nemmeno giustificarlo ricorrendo al teorema della corda.

[sussolini1]

quindi, per farla semplice, da come l'ho disegnato io (con il raggio che va in alto a destra)


l'angolo in basso a sinistra è 60
in alto a destra è 120

in alto a sinistra è 30
e in basso a destra è 150

giusto? anche se ne dubito
non è proprio la mia materia

[Studente Anonimo]

Se consideri gli angoli al centro, doppi di quelli alla circonferenza, è quasi immediato dimostrare, per simmetria, che l'angolo al centro che insiste su un lato obliquo è retto. Quindi:

$BhatAD=BhatAC+ChatAD=45°+30°=75°$

P.S.
Indicando con $A$ il vertice inferiore sinistro e nominando gli altri tre vertici in senso antioraro.

[sussolini1]

"anonymous_0b37e9":Se consideri gli angoli al centro, doppi di quelli alla circonferenza, è quasi immediato dimostrare, per simmetria, che l'angolo al centro che insiste su un lato obliquo è retto. Quindi:

$BhatAD=BhatAC+ChatAD=45°+30°=75°$

aspetta ma in che modo questa cosa (che non ho capito) è collegata all'esercizio

giuro che non ci sto capendo più nulla

[Studente Anonimo]

Ho aggiunto come intendo la figura.

[sussolini1]

mi ero totalmente perso già dall'inizio...non c'è un metodo più semplice?

[Studente Anonimo]

In che senso più semplice? Direi proprio di no. Di fatto, se si hanno le competenze minime, è quasi immediato.

[sussolini1]

allora non ho le competenze minime, come mi aspettavo hahahah

[Studente Anonimo]

Più semplice di quello che pensi:

1. Traccia i 4 raggi che congiungono il centro della circonferenza con i 4 vertici.

2. L'angolo al centro che insiste sulla base maggiore è di $120°$ (il doppio di quello alla circonferenza).

3. L'angolo al centro che insiste sulla base minore è di $60°$ (il doppio di quello alla circonferenza).

4. L'angolo al centro che insiste su un lato obliquo è di $(360°-120°-60°)/2=90°$.

5. L'angolo alla circonferenza che insiste su un lato obliquo è di $45°$ (la metà di quello al centro).

6. Uno degli angoli adiacenti alla base maggiore è di $45°+30°=75°$, somma di un angolo alla circonferenza che insiste su un lato obliquo e dell'angolo alla circonferenza che insiste sulla base minore.

[sussolini1]

guarda, grazie per l'aiuto ma sono un caso perso, mi sta venendo voglia di rompere qualcosa

[Studente Anonimo]

Devi seguire passo passo i punti che ho scritto. Quali non sarebbero chiari?

[sussolini1]

non lo so nemmeno io...credo 5 e 6 però

[Studente Anonimo]

Intanto, aggiungo la figura:

Inoltre:

Punto 1

$AhatOB=120°$

Immediatamente, perché $AB$ è una corda notevole.

Punto 2

$ChatOD=60°$

Immediatamente, perché $CD$ è una corda notevole.

Punto 3

$AhatOD=BhatOC=(360°-120°-60°)/2=90°$

Per simmetria.

Punto 4

$BhatAC=45°$

Anche se non è tracciato $AC$, perché metà dell'angolo al centro $BhatOC$.

Punto 5

$ChatAD=30°$

Anche se non è tracciato $AC$, perché angolo alla circonferenza che insiste sulla corda notevole $CD$.

Punto 6

$BhatAD=BhatAC+ChatAD=45°+30°=75°$

Habemus Papam.

P.S.
Vale la pena osservare che, a questo punto, $BC$ risulta essere proprio la terza corda notevole mancante:

$bar(BC)=rsqrt2$

[sussolini1]

okk proverò a capirlo grazie

[mgrau]

Magari così è più chiaro.
$B'B'' = r, B'AB'' = 60°$
$C'C'' = r sqrt(3), C'AC'' = 120°$
$B'AC'' = B''AC' = 90°$

[sussolini1]

in realtà no xD

[giammaria2]

Mi spiace complicare ulteriormente le cose, ma sono possibili due figure diverse e perciò ci sono due diverse soluzioni. La figura può essere disegnata come negli ultimi post ma, fermo il resto, la base AB può anche essere al di sopra del centro O (cioè O è fuori dal trapezio).
Comunque non conviene affrontare questo secondo caso finché non sia stato capito bene il primo.

[Studente Anonimo]

"giammaria":
Mi spiace complicare ulteriormente le cose ...

Ci mancherebbe.

"giammaria":
... sono possibili due figure diverse ...

Integrazione a dir poco necessaria. Non ci avevo assolutamente pensato.

"giammaria":
... non conviene affrontare questo secondo caso finché non sia stato capito bene il primo.

A questo punto, presumo che sia più complicato. La vedo dura.

[mgrau]

Già, non ci avevo pensato neanch'io...
Metto anche questo, per completezza.
$BAB' = 60°$
$CAC' = 120°$
Forse è anche più immediato vedere che gli angoli alla base sono di 45°