Andamento di una funzione
Buonasera a tutti!
Mi viene richiesto di tracciare il grafico probabile della funzione:
$y=cosx/e^x$.
Ho determinato il dominio e studiato il segno però non riesco a capire il suo andamento per $x<0$? Ci sono delle oscillazioni? Nonostante abbia tracciato il grafico con Derive, non riesco a capire se ci sono asintoti verticali o sono oscillazioni molto grandi.
Sareste così gentili da fornirmi dei chiarimenti o dei suggerimenti per tracciare tale grafico?
Vi ringrazio anticipatamente per la risposta.
P.S.:Considerate che mi viene chiesto di realizzare il grafico della funzione data sopra, conoscendo solo la Teoria dei Limiti!!
Mi viene richiesto di tracciare il grafico probabile della funzione:
$y=cosx/e^x$.
Ho determinato il dominio e studiato il segno però non riesco a capire il suo andamento per $x<0$? Ci sono delle oscillazioni? Nonostante abbia tracciato il grafico con Derive, non riesco a capire se ci sono asintoti verticali o sono oscillazioni molto grandi.
Sareste così gentili da fornirmi dei chiarimenti o dei suggerimenti per tracciare tale grafico?
Vi ringrazio anticipatamente per la risposta.
P.S.:Considerate che mi viene chiesto di realizzare il grafico della funzione data sopra, conoscendo solo la Teoria dei Limiti!!
Risposte
In sostanza, in uno studio di funzione, puoi avere asintoti verticali solo in corrispondenza di punti in cui si annulla il denominatore (ad esempio, se studi il grafico di $y=1/(x^2-9)$, andrai ad analizzare i punti $x=+-3$). Nel tuo caso, devi chiederti quando $e^x=0$ (naturalmente non accade in nessun punto). Concludiamo quindi che non ci sono asintoti verticali.
Quindi siamo in presenza di oscillazioni che diventano sempre più grandi: riesci a intuire il motivo di questo fatto?
Quindi siamo in presenza di oscillazioni che diventano sempre più grandi: riesci a intuire il motivo di questo fatto?
Forse sì... Le oscillazioni dovrebbero essere sempre più grandi per via del denominatore. Infatti la funzione esponenziale $y=e^x$ cresce più rapidamente della funzione coseno, che è limitata. Giusto?
Cioè mi spiego: la legge esponenziale $y=e^x$, decresce per valori negativi della $x$, sicché il rapporto della funzione data tende ad infinito...
tende ad infinito quando? Il coseno è una funzione limitata,mentre $e^x$ cresce rapidamente,all'aumentare di x. Questo ti farà capire che il limite tenderà a zero per valori molto grandi. Per valori molto piccoli di x,ovvero quando x tende a meno infinito,vale il discorso opposto,perchè $e^x$ diventa sempre più piccolo.
Forse ti può essere utile riscrivere la funzione in questo modo
$y=e^(-x)cosx$
quindi puoi vederla come una funzione coseno la cui ampiezza varia secondo la legge $e^(-x)$.
Quindi per $x>0$ le oscillazioni saranno sempre piú piccole poiché $e^(-x)$ tende a zero man mano che $x$ cresce fino a $+oo$.
Viceversa per $x<0$ le oscillazioni si amplificheranno sempre di piú poiché $e^(-x)$ tende a $+oo$ man mano che $x$ tende a $-oo$.
Puoi anche osservare che vale
$-e^(-x)<=e^(-x)cosx<=e^(-x)$
perciò la tua funzione risulta oscillante tra le due funzioni $y=-e^(-x)$ e $y=e^(-x)$ a cui risulta tangente nei punti in cui vale $cosx=-1$ e $cosx=1$ rispettivamente.
Inoltre si annulla in tutti e soli i punti in cui si annulla $cosx$ (poiché $e^(-x)$ non si annulla mai).
$y=e^(-x)cosx$
quindi puoi vederla come una funzione coseno la cui ampiezza varia secondo la legge $e^(-x)$.
Quindi per $x>0$ le oscillazioni saranno sempre piú piccole poiché $e^(-x)$ tende a zero man mano che $x$ cresce fino a $+oo$.
Viceversa per $x<0$ le oscillazioni si amplificheranno sempre di piú poiché $e^(-x)$ tende a $+oo$ man mano che $x$ tende a $-oo$.
Puoi anche osservare che vale
$-e^(-x)<=e^(-x)cosx<=e^(-x)$
perciò la tua funzione risulta oscillante tra le due funzioni $y=-e^(-x)$ e $y=e^(-x)$ a cui risulta tangente nei punti in cui vale $cosx=-1$ e $cosx=1$ rispettivamente.
Inoltre si annulla in tutti e soli i punti in cui si annulla $cosx$ (poiché $e^(-x)$ non si annulla mai).
Grazie a tutti per la risposta! Ieri sera, comunque, a mente serena avevo risolto tutto!
Buona serata!
Buona serata!
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