Ancora una domanda sui complessi
Mi è sorta una domanda facendo gli esercizi sui complessi che non riesco a giustificare totalmente.
Mi sono reso conto che: $z^2=-4$ posso risolverla $z=+-2i$
Non cpisco però perché $z^4=-1$ mi porterebbe a un risultato errato scrivessi $z=+-i$
Perché questo?
Mi sono reso conto che: $z^2=-4$ posso risolverla $z=+-2i$
Non cpisco però perché $z^4=-1$ mi porterebbe a un risultato errato scrivessi $z=+-i$
Perché questo?
Risposte
Perché le radici quarte di un numero complesso sono quattro 
Mmm ... mi par di capire che non conosci come calcolare le radici di un numero complesso, sbaglio?
Mmm ... mi par di capire che non conosci come calcolare le radici di un numero complesso, sbaglio?
Poni $t=z^2$ e hai \[t^2=-4 \ \Leftrightarrow t=\pm 2i \underbrace{\Longleftrightarrow}_{t=z^2} \ \dots\]
@axpgn: no infatti non so farlo , non ci è stato spiegato non essendo in programma ma vorrei approfondirlo per curiosità personale . Ho imparato il metodo trigonometrico dal libro di analisi di mio fratello e funziona. Peccato non riesca ad usare la forma cartesiana (o algebrica) come nel caso svolto da Indrjo, e sul libro non se ne da molto spazio.
Oppure potrei trattarla semplicemente come equazione complessa e sviluppare la quarta ma anchq qui molti calcoli inutili.
Per quelle semplici la via trigonometrica (o come equazione) mi sembra piuttosto laboriosa e inutile, per questo vorrei capire quest'altra via.
@Indrjo: anche io per istinto ho provato quella via, ma poi mi blocco a $z_1=sqrt(2i), z_2=sqrt(-2i)$
Perché avrei fatto $z_1=sqrt2*sqrti$
ma a parte non saper calcolare la radice di i, non son nemmeno sicuro che nei complessi valga tale proprietà di scomposizione.
Come si completa dopo i puntini?
, non ci è stato spiegato non essendo in programma ma vorrei approfondirlo per curiosità personale . Ho imparato il metodo trigonometrico dal libro di analisi di mio fratello e funziona. Peccato non riesca ad usare la forma cartesiana (o algebrica) come nel caso svolto da Indrjo, e sul libro non se ne da molto spazio.Oppure potrei trattarla semplicemente come equazione complessa e sviluppare la quarta ma anchq qui molti calcoli inutili.
Per quelle semplici la via trigonometrica (o come equazione) mi sembra piuttosto laboriosa e inutile, per questo vorrei capire quest'altra via.
@Indrjo: anche io per istinto ho provato quella via, ma poi mi blocco a $z_1=sqrt(2i), z_2=sqrt(-2i)$
Perché avrei fatto $z_1=sqrt2*sqrti$
ma a parte non saper calcolare la radice di i, non son nemmeno sicuro che nei complessi valga tale proprietà di scomposizione.
Come si completa dopo i puntini?
Bhé, in $\mathbb{C}$, non ha tanto senso tirare in ballo cose del tipo $\sqrt{\text{un numero}}$. Finché lavori in $\mathbb{R}$, puoi immaginartela come una funzione tale che bla, bla, ..., scegliendo per convenzione che la radice di indice pari sia un numero positivo o nullo[nota]Nessuno ci vieta di imporre che sia negativo o nullo, eh...[/nota]. Invece in campo complesso cosa significa \[\sqrt[n]{z} \ ?\]Riesco a trovare $n$ numeri complessi distinti che elevati a $n$ danno $z$. Potremmo scegliere qualche strana convenzione e dire \[\sqrt[n]{z}\]è proprio quello lì, scelto con un certo criterio più o meno condivisibile.
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Passiamo alla risoluzione di semplici equazioni del tipo \[z^n=u \qquad \text{con }z,u \in \mathbb{C} \ .\] Si dimostra che, scrivendo $u=r(\cos\varphi+i \sin\varphi)$ ($r \in \mathbb{R}$!)le soluzioni sono \[\sqrt[n]{r}\Big(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\Big) \ ,\] con $k$ intero. Visto che però da un certo $k$ in poi le soluzioni iniziano a ripetersi (vedi $\sin$ e $\cos$) si pone, per evitare sprechi, che $0 \leq k \leq n-1$. E questa è la via più semplice e noiosa.[nota]Ritornando al discorso di prima, potresti imporre \[\sqrt[n]{u}\] come la soluzione dell'equazione presentata ottenuta mettendo $k=0$,... O quello che vuoi...[/nota]
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Come proseguo io? Applicando quel metodo che ho riassunto qua sopra.
Con $n=2$ la cosa si semplifica notevolmente, o per lo meno per me è così.
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Passiamo alla risoluzione di semplici equazioni del tipo \[z^n=u \qquad \text{con }z,u \in \mathbb{C} \ .\] Si dimostra che, scrivendo $u=r(\cos\varphi+i \sin\varphi)$ ($r \in \mathbb{R}$!)le soluzioni sono \[\sqrt[n]{r}\Big(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\Big) \ ,\] con $k$ intero. Visto che però da un certo $k$ in poi le soluzioni iniziano a ripetersi (vedi $\sin$ e $\cos$) si pone, per evitare sprechi, che $0 \leq k \leq n-1$. E questa è la via più semplice e noiosa.[nota]Ritornando al discorso di prima, potresti imporre \[\sqrt[n]{u}\] come la soluzione dell'equazione presentata ottenuta mettendo $k=0$,... O quello che vuoi...[/nota]
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Come proseguo io? Applicando quel metodo che ho riassunto qua sopra.
Con $n=2$ la cosa si semplifica notevolmente, o per lo meno per me è così.
Ok perfetto, allora devo passare per forza dalla forma trigonometrica.
Pensavo si potesse fare in modo alternativo più rapido
Grazie per aver fatto chiarezza!
Pensavo si potesse fare in modo alternativo più rapido
Grazie per aver fatto chiarezza!
Certo che c'è un'alternativa: il teorema e il metodo di Ruffini, due cosine seppellite lì tra i libri di prima superiore. Puoi applicare quello, ma non è rapido.
Vedi, non ci avevo pensato.
Illuminante.
Illuminante.
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