Ancora un Problema Trigonometria

[raffaele19651]

Ciao.

Ho bisogno di un chiarimento e aiuto su questo problema di Trigonometria.

Data una circonferenza di centro O e raggio r, disegnare un angolo al centro convesso $A\hatOB = 2x$ e costruire il
triangolo equilatero $ABC$ da parte opposta di $O$ rispetto ad $AB$. Esprimere, in funzione di $x$, l’area del quadrilatero
$ACBO$. Determinare inoltre per quale valore di $x$ tale funzione risulti minore di $\bar(AB)/2$, indipendentemente dalle
condizioni geometriche del problema.

Ho calcolato l'Area del triangolo $AOB$ --> $1/2r^2sin2x$ --> $1/2r^2sinxcosx$ --> $r^2sinxcosx$.

Ho calcolato la corda $\bar(AB) = 2rsinx$.

Ho calcolato l'Area del Triangolo $ABC$ --> $(1/2)4r^2sin^3x$ --> $2r^2sin^3x$.

L'Area del quadrilatero ACBO sarà la differenza tra le due, quindi:

$r^2sinxcosx - 2r^2sin^3x = r^2sinx(2sin^2x - cosx)$.

Come faccio ora a calcolare quando la funzione è minore di $\bar(AB)/2$?

Grazie per l'aiuto.

Raffaele

[@melia]

Non va. Hai sbagliato di nuovo l'applicazione del teorema della corda: devi usare un angolo alla circonferenza che è la metà del corrispondente angolo al centro. E poi
costruire il triangolo equilatero ABC da parte opposta di O rispetto ad AB
Il triangolo equilatero non ha necessariamente il vertice sulla circonferenza ed è dalla parte opposta rispetto ad O.

[raffaele19651]

OK lo ripeto....

Troppa fretta.

Raffaele

[raffaele19651]

Spero di essere riuscito a fare meglio.

Ho ragionato così:

calcolo AREA (AOB) --> $1/2r^2sin2x$
calcolo $bar(AB) = 2rsinx$
calcolo AREA (ABC) --> $1/2*4r^2sin^2x*sin2x$ dove $sin2x$ deriva dalla differenza $sin(pi-2x) = sinpicos2x - sin2xcospi = sin2x$.
calcolo AREA (ACBO) --> $1/2r^2sin2x + 1/2*4r^2sin^2xsin2x = 1/2*r^2sin2x(1+4sin^2x)$.

Ora dovrei svolgere la seconda parte che però non riesco ad impostare.

E' corretto?

Grazie.



Raffaele

[anto_zoolander]

riporto e spero di non aver commesso errori da orario

"raffaele1965":Spero di essere riuscito a fare meglio.

Ho ragionato così:

calcolo AREA (AOB) --> $1/2r^2sin2x$
calcolo $bar(AB) = 2rsinx$
calcolo AREA (ABC) --> $1/2*4r^2sin^2x*sin2x$ dove $sin2x$ deriva dalla differenza $sin(pi-2x) = sinpicos2x - sin2xcospi = sin2x$.
calcolo AREA (ACBO) --> $1/2r^2sin2x + 1/2*4r^2sin^2xsin2x = 1/2*r^2sin2x(1+4sin^2x)$.

Ora dovrei svolgere la seconda parte che però non riesco ad impostare.

E' corretto?

Grazie.

premettiamo che i limiti geometrici impongano che sia $0leqxleqpi/2$

ci sarebbe da parlare discutere l'angolo piatto o quello nullo, di fatto seguendo le definizioni di angolo convesso:

è convesso l'angolo che non contiene i prolungamenti dei suoi lati
è convesso l'angolo, che comunque presi due punti, il segmento congiungente è interno all'angolo

l'angolo nullo soddisfa entrambe le definizioni, l'angolo piatto soltanto una delle due ovvero la seconda. In particolare è sia concavo che convesso, e potremmo dare per buono che $pi/2$ possa venir considerato

Intanto $ABC$ non mi pare sia equilatero. Poi dovresti postare tutti i procedimenti per far capire dove possono stare gli errori e quindi poterti aiutare.
L'area del triangolo $AOB$ è corretta, mentre quella di $ABC$ no. Vediamo perché:

chiamare l'angolo opposto di quello al centro della circonferenza $pi-2x$ non ha senso, visto che il triangolo deve essere equilatero per richiesta del problema. Qual è l'area di $ABC$?

${(AB=2rsinx),(h=ABsin(pi/3)):}$

$A_(ABC)=1/2(AB*h)=1/2(2rsinx)*(2rsinx*sin(pi/3))=sqrt3r^2sin^2x$

$A_(t o t)=sqrt3r^2sin^2x+r^2sinxcosx$

$A_(t o t)=r^2sinx(sqrt3sinx+cosx)=2r^2sinxsin(x+pi/6)$

Adesso consideriamo la funzione $f(x)=2r^2sinxsin(x+pi/6)$ definita su un dominio $D=RR$ e tale che sia $r>0$. Perché l'ho considerata definita su $RR$? perché ci chiede di non considerare i limiti geometrici del problema, considerandone la funzione che di per se è continua su tutto l'insieme dei reali.

$f(x)<(AB)/2$ significa $2r^2sinxsin(x+pi/6)

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[raffaele19651]

Grazie mille.

Molto chiaro. Farò più attenzione la prossima volta.

Avevo considerato erroneamente l'angolo opposto uguale a $pi-2x$ perché mi ricordavo una regola degli angoli opposti interni ad un quadrilatero la cui somma dovrebbe dare $pi$ appunto, non considerando la richiesta del problema.

Grazie ancora.

Raffaele.