Ancora trigonometria, aiuto!

[Astrofisica998]

Salve,
ho un problema da svolgere ma che proprio non riesco a risolverlo perché non so come 'attaccare'. Il problema è il seguente:
"Nel triangolo rettangolo ABC la lunghezza dell'ipotenusa BC è 41 cm e la tangente dell'angolo B è 40/9. Determina il perimetro e l'area del triangolo.".
Grazie in anticipo!

[Gi81]

I due cateti misurano $40$ e $9$ cm. Ci sono due modi per dimosrarlo:

[1] Se $tan(beta)= 40/9$ allora $cos(beta) = 9/41$ e $sin(beta)= 40/41$.
Infatti, tenendo presente che in generale vale $1/(cos^2(x))= (sin^2(x)+cos^2(x))/(cos^2(x)) = tan^2(x) +1$,
si ha $1/(cos^2(beta) ) = tan^2(beta)+1 =(40/9)^2 +1= 1600/81+ 1=1681/81$
da cui $cos(beta) = sqrt(81/1681)= 9/41$. Inoltre $sin(beta)= tan(beta)*cos(beta)=40/9*9/41= 40/41$.
Dunque un cateto vale $BC * cos(beta) = 41*9/41 = 9$, e l'altro $BC *sin(beta)=40$.
[2] Posti $x$ e $y$ i due cateti, si ha $x^2+y^2 = 41^2$ e $x/y= 40/9$ ( e ovviamente $x,y>0)$.
Risolvendo il sistema, si ottiene $x= 40$ e $y=9$.
[/list:u:2ybmphqz]

[anto_zoolander]

Dai questo è molto facile.

hai l'ipotenusa e la tangente di un angolo adiacente all'ipotenusa.

tu hai $tanalpha=40/9$ e $CB=41$

basta che ricordi $CBsinalpha=AC$ e $CBcosalpha=AB$

poi per l'area, o usi la classica $A=(b*h)/2$ oppure $(CB*AB*sinalpha)/2$

un suggerimento può essere $tanalpha=sinalpha/cosalpha=40/9$

$sinalpha/cosalpha=40/9 <=> sinalpha=40/9cosalpha$

quì ricordi la legge fondamentale della goniometria:

$sin^2alpha + cos^2alpha=1 <=> (40/9cosalpha)^2 + cos^2alpha=1$

penso che dopo questo hai tutto per procedere solo.

[Astrofisica998]

Grazie, ragazzi!
@anto_zoolander, ma allora tu mi vuoi proprio bene! So che era facile come problema, cioè, almeno, così lo segnalava il mio libro ma ripeto: io e la matematica non andiamo molto d'accordo.