Ancora parabole..

[mirk95]

Ho un ultimo problema che non so proprio come incominciare, poi vi lascio stare per oggi... spero che riusciate perchè mi serve per domani...

Date le parabole di equazioni x=y^2-2y e x=-y^2+y, determina l'equazione di una retta parallela all'asse y in modo che intercetti corde uguali su entrambe le parabole. La soluzione è x= -3/8. Grazie in anticipo..

[BIT5]

tutte le rette parallele all'asse y sono della forma x=k

i punti di interesezione tra il fascio di rette x=k e la prima parabola saranno la soluzione del sistema:

[math] \{x=k \\ x=y^2-2y [/math]

da cui, sostituendo la prima nella seconda

[math] k=y^2-2y \to y^2-2y-k=0 [/math]

che ha soluzioni (usando la formula ridotta) per

[math] y_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1+k} [/math]

e quindi

[math] y_1=1+ \sqrt{1+k} \ \ \ \ \ \ y_2=1- \sqrt{1+k} [/math]

Ed essendo due punti che stanno su una retta verticale, la corda sara' la loro distanza che non sara' altro che la differenza delle ordinate (visto che tutti e due i punti hanno ascissa x=k..)

[math] C_1 = 1+ \sqrt{1+k} - \(1- \sqrt{1+k} \) = 2 \sqrt{1+k} [/math]

analogamente i punti di intersezione tra la parabola e il fascio saranno:

[math] y^2-y+k=0 \to y_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1-4k}}{2} [/math]

e la lunghezza della corda

[math] \frac{2 \sqrt{1-4k}}{2} = \sqrt{1-4k} [/math]

le due corde saranno uguali quando

[math] 2 \sqrt{1+k} = \sqrt{1-4k} \to 4(1+k)=1-4k \to 4+4k=1-4k \to \\ \\ \\ \\ \to 8k=-3 \to k=- \frac38 [/math]

La retta sara' dunque

[math] x= - \frac38 [/math]