Ancora geometria ...(con scarse speranze)

[Sk_Anonymous]

Nel generico triangolo ABC sia D un punto (interno) del lato AC
tale che sia $(AD)/(DC)=s$ ed E un punto (interno) del lato
AB tale che sia $(AE)/(EB)=r$.
Detta P l'intersezione di BD e CE,calcolare il rapporto tra le aree
dei triangoli ABC e PBC in funzione di r ed s.
karl

[desko]

Molto bello.
Ci penso un po' e poi ti so dire (forse).
Grazie

[Piera4]

Viene $r/(rs+s+r)$?

[Sk_Anonymous]

Piera deve aver invertito il rapporto perche' la frazione da lui indicata e' <1.
Comunque il mio risultato e' r+s+1 ,confermato per esempio
prendendo un triangolo equilatero e considerando i punti E e D distanti
da A 1/3 del lato del triangolo ( oppure 1/2 del medesimo lato).
Ricordatevi di Menelao...
karl

[Kroldar]

@karl
Ma tu ai tuoi alunni lo fai studiare il teorema di Menelao?
Sono andato a cercarlo in rete dopo aver letto un tuo post... prima di allora non lo avevo mai incontrato, né al liceo né all'università.

[Piera4]

E' vero, ho invertito il rapporto.
Dopo aver riferito la figura in un piano cartesiano, consideriamo l'affinità che manda
A in (0,0)
B in (r+1,0)
C in (0,s+1)

inoltre, l'affinità manda
D in (0,s)
E in (r,0)

Le coordinate del punto P sono: $((r(r+1))/(r+s+1),(s(s+1))/(r+s+1))$.
A questo punto è facile trovare le due aree richieste:
$2Area(ABC)=(s+1)(r+1)$
$2Area(PBC)=((r+1)(s+1))/(r+s+1)$
$=>(Area(ABC))/(Area(PBC))=r+s+1$.
Tenendo conto che un'affinità conserva il rapporto tra aree, si ha che il valore trovato vale per un triangolo qualsiasi.

Per una soluzione sintetica (io non ci sarei mai arrivato) si può guardare qui:
http://www.cut-the-knot.org/triangle/VanObel.shtml

La soluzione da me proposta è stata presa da questo topic, che avevo letto qualche mese addietro:
http://olimpiadi.dm.unipi.it/oliForum/v ... porto+aree

[Sk_Anonymous]

Piaciuta molto la soluzione con l'affinita' e credo sara' piaciuta anche agli altri.
Una risoluzione puramente sintetica ce l'avrei e fa uso di quel benedetto teorema di Menelao
che pare non godere di ..molte simpatie.
Applico questo teorema al triangolo ACE tagliato dalla trasversale BD (fig.1).Si ha:
$(AD)/(DC)*(CP)/(EP)*(BE)/(AB)=1$
Da cui si trae:
$(CP)/(EP)=(DC)/(AD)*(AB)/(BE)=(r+1)/s$
Oppure componendo:
(0) $(CP)/(CE)=(r+1)/(r+s+1)$
Ora,dette H,K,L le proiezioni ortogonali su BC di A,P,E rispettivamente (fig.2),dalla
similitudine delle due coppie di triangoli (AHB,ELB) e (CPK,CEL),abbiamo:
(1) $(AH)/(EL)=(AB)/(EB)=r+1$
(2) $(PK)/(EL)=(CP)/(CE)=(r+1)/(r+s+1)$ per la (0)
Dividendo m.a.m (1) e (2) risulta:
$(AH)/(PK)=r+s+1$
e questo e' anche il rapporto delle aree dei triangoli ABC e BCP dato che essi hanno
la medesima base BC e AH e PK sono proprio le altezze ad essa relative.
karl