Ancora geometria analitica
Ciao a tutti... Vi voglio mostrare questo problema se riuscite a risolverlo.. è un po' complicato... spero ce la facciate...
Una circonferenza taglia l'asse x nei punti di ascissa -1 e 4 e passa per A(3;2). Determina l'equazione della circonferenza e l'equazione della retta tangente nel punto A.
Grazie 1000 in anticipo... Mirko :hi
Una circonferenza taglia l'asse x nei punti di ascissa -1 e 4 e passa per A(3;2). Determina l'equazione della circonferenza e l'equazione della retta tangente nel punto A.
Grazie 1000 in anticipo... Mirko :hi
Risposte
Soluzione esercizio:
Per determinare la circonferenza, di cui si conoscono tre punti, è sufficiente procedere in questo modo: l'equazione generica di una circonferenza è x^2+y^2+ax+by+c=0.
In questa equazione compaiono tre incognite: a,b,c. Determinati a,b,c ecco che si determina una precisa circonferenza.
Ora, se i tre punti forniti dal problema appartengono alla circonferenza che si vuole determinare, l'equazione (ovvero l'uguaglianza) x^2+y^2+ax+by+c=0 dovrà essere soddifatta da tutti e tre questi punti. Se così non fosse, infatti, essi non apparterrebbero alla circonferenza!
Per il punto 1 (-1;0) ottengo:
x^2+y^2+ax+by+c= 1-a+c=0;
Per il punto 2 (4;0)ottengo:
x^2+y^2+ax+by+c= 16+4a+c=0
Per il punto 3 (3;2), ottengo:
x^2+y^2+ax+by+c= 9+4+3a+2b+c= 3a+2b+c+13=0
Questo è un sistema di 3 equazioni con tre incognite.
Dalla I° equazione ricavo che c=a-1;
Sostituisco questo risultato nella II° equazione: 16 +4a +(a-1)=0 cioè 5a+15=0 cioè a=-3. E allora c=a-1= -4.
Sostituisco questo risultato nella III°: 3(-3)+2b+(-4)+ 13=0 cioè -9+2b-4+13=0 cioè 2b=0 cioè b=0.
La circonferenza ha dunque equazione x^2+y^2-3x-4=0.
Il resto te lo imposto solamente.
La retta tamgemte a questa circonferenza avrà un'equazione del tipo y=mx+n.
trovati m ed n ecco che è perfettamente determinata la retta.
Per essere tangente questa retta dovrà toccare la circonferenza in un unico punto (se fossero 2, sarebbe secante).
Per trovare questo punto devo mettere a sistema l'equazione della circonferenza e l'equazione della retta:
x^2+y^2-3x-4=0 e y=mx+n.
Sostituisco y nella prima equazione dalla seconda:
x^2 +(mx+n)^2-3x-4=0
x^2 +(m^2)x^2 +n^2 +2mnx -3x -4=0
Raccolgo a fattor comune (1+m^2)x^2 +(2mn-3)x +(n^2-4)=0
Perchè esista una sola soluzione di questa equazione di secondo grado (e quindi per far in modo che retta e circonferenza si tocchino in un punto solo) occorre che il determinante dell'equazione sia pari a 0.
Determinante= radice di (2mn-3)^2-4(n^2-4)(1+m^2)=0
Dunque dev'essere(2mn-3)^2-4(n^2-4)(1+m^2)=0
Per semplificare la situazione so però che il punto a(3,2) appartiene alla retta. Dunque dev'essere 2=3m+n. da questo si ricava che n=2-3m.
Dalle due condizioni (determinante=0 e n=2-3m) ricavi la soluzione.
Ciao!
Per determinare la circonferenza, di cui si conoscono tre punti, è sufficiente procedere in questo modo: l'equazione generica di una circonferenza è x^2+y^2+ax+by+c=0.
In questa equazione compaiono tre incognite: a,b,c. Determinati a,b,c ecco che si determina una precisa circonferenza.
Ora, se i tre punti forniti dal problema appartengono alla circonferenza che si vuole determinare, l'equazione (ovvero l'uguaglianza) x^2+y^2+ax+by+c=0 dovrà essere soddifatta da tutti e tre questi punti. Se così non fosse, infatti, essi non apparterrebbero alla circonferenza!
Per il punto 1 (-1;0) ottengo:
x^2+y^2+ax+by+c= 1-a+c=0;
Per il punto 2 (4;0)ottengo:
x^2+y^2+ax+by+c= 16+4a+c=0
Per il punto 3 (3;2), ottengo:
x^2+y^2+ax+by+c= 9+4+3a+2b+c= 3a+2b+c+13=0
Questo è un sistema di 3 equazioni con tre incognite.
Dalla I° equazione ricavo che c=a-1;
Sostituisco questo risultato nella II° equazione: 16 +4a +(a-1)=0 cioè 5a+15=0 cioè a=-3. E allora c=a-1= -4.
Sostituisco questo risultato nella III°: 3(-3)+2b+(-4)+ 13=0 cioè -9+2b-4+13=0 cioè 2b=0 cioè b=0.
La circonferenza ha dunque equazione x^2+y^2-3x-4=0.
Il resto te lo imposto solamente.
La retta tamgemte a questa circonferenza avrà un'equazione del tipo y=mx+n.
trovati m ed n ecco che è perfettamente determinata la retta.
Per essere tangente questa retta dovrà toccare la circonferenza in un unico punto (se fossero 2, sarebbe secante).
Per trovare questo punto devo mettere a sistema l'equazione della circonferenza e l'equazione della retta:
x^2+y^2-3x-4=0 e y=mx+n.
Sostituisco y nella prima equazione dalla seconda:
x^2 +(mx+n)^2-3x-4=0
x^2 +(m^2)x^2 +n^2 +2mnx -3x -4=0
Raccolgo a fattor comune (1+m^2)x^2 +(2mn-3)x +(n^2-4)=0
Perchè esista una sola soluzione di questa equazione di secondo grado (e quindi per far in modo che retta e circonferenza si tocchino in un punto solo) occorre che il determinante dell'equazione sia pari a 0.
Determinante= radice di (2mn-3)^2-4(n^2-4)(1+m^2)=0
Dunque dev'essere(2mn-3)^2-4(n^2-4)(1+m^2)=0
Per semplificare la situazione so però che il punto a(3,2) appartiene alla retta. Dunque dev'essere 2=3m+n. da questo si ricava che n=2-3m.
Dalle due condizioni (determinante=0 e n=2-3m) ricavi la soluzione.
Ciao!
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