Ancora eq. differenziali

[eafkuor1]

Non ho più avuto il tempo di aprire libro fino ad oggi..
Scusate se vi annoio con i miei stupidi problemi..

Un corpo che cade dalla quiete acquista una velocità proporzionale alla radice dello spazio percorso:

$v=(ds)/(dt)=sqrt(2gs)$

dove $g$ è l'accelerazione di gravità.
Ovviamente $v=s^{\prime}(t)$, l'eq. diventa

$s^{\prime}(t)=sqrt(2g(s(t)))$

da cui

$(s^{\prime}(t))/(sqrt(s(t)))=sqrt(2g)$

integrando

$2sqrt(s(t))=sqrt(2gt)+c$

non ho capito da dove spunta fuori $sqrt(2gt)$ (secondo me è sbagliato)

[eafkuor1]

anzi è sbagliato dato che deve venire $s(t)=1/2gt^2$

[Camillo]

"eafkuor":Non ho più avuto il tempo di aprire libro fino ad oggi..


$s^{\prime}(t)=sqrt(2g(s(t)))$

da cui

$(s^{\prime}(t))/(sqrt(s(t)))=sqrt(2g)$

integrando

$2sqrt(s(t))=sqrt(2gt)+c$

No , integrando hai : $2sqrt(s(t)) = sqrt(2g)*t +c $ .
Imponendo poi la condizione iniziale : $ t=0, s=0 $ ottieni $ c= 0 $ e quindi
elevando al quadrato :
$4s = 2gt^2$ e infine :$ s = 1/2gt^2$.

[eafkuor1]

Avevo intuito che integrando si aveva $tsqrt(2g)+c$ ma mi ero risparmiato i calcoli per sicurezza

E' incredibile, in quella pagina il libro fa ben 2 errori di seguito: prima sbaglia quest'integrazione, poi si scorda di elevare alla seconda il 2 che moltiplica $sqrt(s)$ al primo membro


EDIT: ovviamente grazie

[Camillo]

Ma che libro è ?
Si tratta di un'equazione a variabili separabili .
Infatti da :

$(s'(t))/sqrt(s(t)) = sqrt(2g) $ e ponendo $ s'(t) = (ds)/dt$ ottieni :
$(ds)/sqrt(s) = sqrt(2g)*dt $ .
Adesso integri i due membri , l'uno rispetto alla variabile s , l'altro rispetto alla variabile t e ottieni appunto la formula ben nota .

[eafkuor1]

E' Analisi 1 di Enrico Giusti