Ancora dubbi

[geovito]

salve,
mi aiutate a capire questo esercizio?
$(3arcose^(-x)-3pi)(1+arcsen^2(x))<0$
Ho risolto così: studio la positività:
$(1+arcsen^2(x))>0$ sempre verificata
$3arcose^(-x)-3pi>0$ da cui $e^(-x)<-sqrt(2)/2$ mai verificata
Inoltre $-1-1$ sempre verificato e $e^(-x)<1$ da cui x>0.
La soluzione del libro è [0,1] perchè?
Non dovrebbe essere [-1,0] ?(Valori discordi)

grazie

[Studente Anonimo]

Ciao!

"vitus":salve,
mi aiutate a capire questo esercizio?
$(3arcose^(-x)-3pi)(1+arcsen^2(x))<0$
Ho risolto così: studio la positività:
$(1+arcsen^2(x))>0$ sempre verificata
$3arcose^(-x)-3pi>0$ da cui $e^(-x)<-sqrt(2)/2$ mai verificata
Inoltre $-1-1$ sempre verificato e $e^(-x)<1$ da cui x>0.
La soluzione del libro è [0,1] perchè?
Non dovrebbe essere [-1,0] ?(Valori discordi)

grazie

Per prima cosa devi determinare il campo di esistenza delle funzioni in gioco. Quindi $-1 \le e^{-x} \le 1$ e $-1 \le x \le 1$. Osserva che si tratta di disuguaglianze larghe, non strette come invece tu hai scritto:

... Inoltre $-1

Tali due condizioni ti danno $x \ge 0$ e $x \le 1$. Adesso puoi partire con la risoluzione della disequazione.

Una domanda: come hai fatto a passare da

$3arcose^(-x)-3pi>0$

a

$e^(-x)<-sqrt(2)/2$

? Non mi sembra un passaggio lecito.

[geovito]

ciao,
c'è un errore di digitazione:
non è $3arcose(-x)-3pi$, ma $4arcose(-x)-3pi$
ora dovrebbe trovarsi
$e(-x)<-sqr2/2$

[Studente Anonimo]

"vitus":ciao,
c'è un errore di digitazione:
non è $3arcose(-x)-3pi$, ma $4arcose(-x)-3pi$
ora dovrebbe trovarsi
$e(-x)<-sqr2/2$

Aahnn ok

[geovito]

ciao,
insisto ancora perchè non mi è chiaro:
dunque:
$-10 e X<1 ok
Stante la disequazione di partenza,applicando il teorema dei segni, non dovrei scegliere le soluzioni discordi, quindi [-1,0[?, invece che [1,0[?
grazie

[Studente Anonimo]

La condizione $0 \le x \le 1$ è il campo di esistenza, quindi deve valere sempre.

La questione dei segni non è legata a questo fatto. Per esempio:

$sqrt{4-x^2}<1$

Qui condizione necessaria è che $4-x^2 \ge 0$, ovvero $-2 \le x \le 2$. Posta questa condizione di esistenza, puoi elevare al quadrato e ottenere $4-x^2<1$, ovvero $x^2>3$, ovvero "$x > sqrt{3}$ oppure $x<-sqrt{3}$". Ora non devi far altro che mettere a sistema queste soluzioni con la condizione di esistenza "$-2 \le x \le 2$", ottenendo quindi come soluzione "$-2 \le x < -sqrt{3}$ oppure $sqrt{3} < x \le 2$".

Se questo esempio ti torna, dovrebbe tornarti anche il tuo esercizio.

[geovito]

Grazie ora è chiaro