Ancora dimostrazione

[elios2]

Si dimostri che, se $x$ e $y$ sono due interi tali che $4x+5y$ sia un multiplo intero di 13, anche $6x+y$ è multiplo intero di 13.

[Sk_Anonymous]

Tutte le congruenze che userò sono modulo 13.
Abbiamo che $4x+5y-=0$, quindi $4x-=-5y-=8y$. Essendo $(4,13)=1$, abbiamo che $x-=2y$. Moltiplicando per 6, $6x-=12y$, quindi $6x-12y-=0$. Da questo, $6x+y-=0$.
Spero soltanto che la mia spiegazione non sia troppo "avanzata", dato che la posto nella sezione "superiori".

[Levacci]

Senza congruenze : $13|8(4x+5y)$, $13| 32x+40y$, $13| 13(2x+3y)+6x+y$, $13| 6x+y$.

[Sk_Anonymous]

"Levacci":Senza congruenze : $13|8(4x+5y)$, $13| 32x+40y$, $13| 13(2x+3y)+6x+y$, $13| 6x+y$.

Molto bella, la tua dimostrazione, meno meccanica della mia. E sicuramente più abbordabile per un ragazzo delle superiori.

[Steven11]

O ancora più banalmente
$4x+5y=13k \implies y=frac{13k-4x}{5}$
Perciò
$6x+y=6x+frac{13k-4x}{5}=frac{30x+13k-4x}{5}=frac{26x+13k}{5}=13*frac{2x+k}{5}$

[elios2]

Non nego di aver capito perfettamente solo l'ultima... eheh! Comunque, vorrei chiedervi qualcosina.. Per quanto riguarda la dimostrazione di Levacci, credo di aver capito. Immagino che l'8 iniziale per cui moltiplichi il polinomio sia scelto arbitrariamente..
Per quanto riguarda quella di matths87, eheh, non ho capito praticamente nulla.. Allora, io so cosa siano a livello teorico le "congruenze a modulo", o come si chiamano, è solo che mi sfugge QUALCHE particolare di questa trasformazione. Provo a spiegarmi:
alla prima: $4x+5y-=0$ ci sto, perché vuol dire che 4x+5y è divisibile per 13 (se sbaglio, correggetemi). Poi, $4x-=-5y$ ci sono, poi $4x-=-5y-=8y$ non ho capito. Inoltre la scrittura $(4;13)=1$ cosa vuol dire?
Scusatemi, lo so che forse dovrei lasciare perdere, è solo che mi interessa molto.. Mi rendo conto che spiegare certe cose non sia molto semplice, quindi se non ce la fate, aspetterò! Grazie ancora!!

[Steven11]

Scusatemi, lo so che forse dovrei lasciare perdere,

Scherziamo?

Allora: la scrittura $(4,13)=1$ sta a significare che il massimo comun divisore tra 4 e 13 è 1.
E' analoga alle scritture
$MCD(a,b)$ o in inglese $gcd(a,b)$

Per l'altra domanda, se conosci un poco i moduli sai cosa significa
$4x-=-5y (mod13)$
Conosci la proprietà
Se $a\equivb$ e $a\equivc$ allora $b\equivc$ ?
Si applica questa, osserva
$4x\equiv-5y$ per HP
Inoltre $-5y\equiv8y$ ed è una pura ovvietà: infatti, possiamo anche scriverla (portando $8y$ a sinistra)
$-13y\equiv0$ che è banalmente vero, sto soltanto dicendo che $13y$ è divisibile per 13 (ricorda che stimo ragionando modulo 13).
Spero sia più chiaro ora.
Per caso sono esercizi presi dai test degli anni scorsi di qualche università d'eccellenza?

Ciao.

[Steven11]

"elios":Per quanto riguarda la dimostrazione di Levacci, credo di aver capito. Immagino che l'8 iniziale per cui moltiplichi il polinomio sia scelto arbitrariamente..

Direi di si

[elios2]

Sì sono presi da test di ammissioni ad università..
Grazie mille, ora è tutto più chiaro!