Analitica
In un riferimento cartesiano ortogonale,sono dati i punti A(-2,0) e B(4,-1).Trovare le cordinate dei punti C con ordinata doppia dell'ascissa,tale che sia CB/CA=spqr3
In un riferimento cartesiano ortogonale il segmento PQ è diviso dal suo punto R in modo che risulta PR/PQ=2/3.Determinare le cordinate di Q sapendo che è: P(-6.-2),R(2/5,14/5).
Successivamente considerato il punto M(0,-4),si congiungano P e Q con M e per R si tracci la retta RS parallela a PM.Trovare il rapporto tra il triangolo QPM e il triangolo QRS,e il rapporto tra il triangolo QRS e il quadrilatero RSPM(senza il calcolo delle aree corrispondenti)
Vi sarei grata se riuscite a darmi una mano con questi problema.So che è una stupidata la risoluzione,ma a volte il mio cervello si arrugginisce improvvisamente tanto da non riuscire più a ragionare davanti ad un problema di geometria analitica
In un riferimento cartesiano ortogonale il segmento PQ è diviso dal suo punto R in modo che risulta PR/PQ=2/3.Determinare le cordinate di Q sapendo che è: P(-6.-2),R(2/5,14/5).
Successivamente considerato il punto M(0,-4),si congiungano P e Q con M e per R si tracci la retta RS parallela a PM.Trovare il rapporto tra il triangolo QPM e il triangolo QRS,e il rapporto tra il triangolo QRS e il quadrilatero RSPM(senza il calcolo delle aree corrispondenti)
Vi sarei grata se riuscite a darmi una mano con questi problema.So che è una stupidata la risoluzione,ma a volte il mio cervello si arrugginisce improvvisamente tanto da non riuscire più a ragionare davanti ad un problema di geometria analitica
Risposte
Il punto $C$ quindi ha queste coordinate: $C=(x,2x)$, con $x$ (ovviamente) incognito.
La distanza $CA$ vale $\sqrt{(x+2)^2+(2x-0)^2}$, mentre la distanza $CB$ vale $\sqrt{(x-4)^2+(2x+1)^2}$.
Facendo il rapporto di queste distanze e uguagliando il tutto a $\sqrt(3)$, poi elevando al quadrato, si ottiene un'equazione di primo grado facilmente risolvibile.
La distanza $CA$ vale $\sqrt{(x+2)^2+(2x-0)^2}$, mentre la distanza $CB$ vale $\sqrt{(x-4)^2+(2x+1)^2}$.
Facendo il rapporto di queste distanze e uguagliando il tutto a $\sqrt(3)$, poi elevando al quadrato, si ottiene un'equazione di primo grado facilmente risolvibile.
Per quanto riguarda il secondo: la lunghezza del segmento $PR$ è $\sqrt{(\frac{2}{5}+6)^2+(\frac{14}{5}+2)^2)=8$.
Il coefficiente angolare di tale segmento vale: $\frac{\frac{14}{5}+2}{\frac{2}{5}+6}=\frac{3}{4}$
Le coordinate (generiche) di $Q$ sono: $Q=(x,y)$.
Il coefficiente angolare di $PQ$ e $PR$ devono essere gli stessi, in quanto tutti e tre i punti sono allineati, quindi deve risultare: $\frac{y+2}{x+6}=\frac{3}{4}$.
Inoltre: $\frac{"PR"}{"PQ"}=\frac{2}{3}$, quindi $"PQ"=\frac{3}{2}"PR"=\frac{3}{2}8=12$.
Quindi deve risultare: $\sqrt{(x+6)^2+(y+2)^2}=12$.
Si ottiene un sistema di due equazioni in due incognite, anche questo facilmente risolvibile.
Per quanto riguarda il rapporto fra le aree dei triangoli $"QPM"$ e $"QRS"$ basta osservare che sono simili, quindi il rapporto fra le aree è uguale al quadrato del rapporto di due lati, ad esempio il rapporto fra le aree può essere calcolato come: $(\frac{"PQ"}{"RQ"})^2$.
Non ho fatto i conti, quindi chiamiamo con $\alpha$ questo rapporto, $\frac{"A(PQM)"}{"A(QRS)"}=\alpha$, allora $"A(PQM)"="A(QRS)" \cdot \alpha$ e $"A(QRS)"=\frac{"A(PQM)"}{\alpha}$
Sia $\beta$ l'area di $"PQM"$, allora $"A(RSMP)"=\beta-\frac{\beta}{\alpha}$.
Quindi il rapporto delle aree fra $"QRS"$ e $"RSMP"$ vale $\frac{\frac{\beta}{\alpha}}{\beta-\frac{\beta}{\alpha}}=\frac{\beta}{\alpha\beta-\beta}=\frac{1}{\alpha-1}$
Come vedi quindi non occorre calcolare $\beta="Area del triangolo PQM"$.
Il coefficiente angolare di tale segmento vale: $\frac{\frac{14}{5}+2}{\frac{2}{5}+6}=\frac{3}{4}$
Le coordinate (generiche) di $Q$ sono: $Q=(x,y)$.
Il coefficiente angolare di $PQ$ e $PR$ devono essere gli stessi, in quanto tutti e tre i punti sono allineati, quindi deve risultare: $\frac{y+2}{x+6}=\frac{3}{4}$.
Inoltre: $\frac{"PR"}{"PQ"}=\frac{2}{3}$, quindi $"PQ"=\frac{3}{2}"PR"=\frac{3}{2}8=12$.
Quindi deve risultare: $\sqrt{(x+6)^2+(y+2)^2}=12$.
Si ottiene un sistema di due equazioni in due incognite, anche questo facilmente risolvibile.
Per quanto riguarda il rapporto fra le aree dei triangoli $"QPM"$ e $"QRS"$ basta osservare che sono simili, quindi il rapporto fra le aree è uguale al quadrato del rapporto di due lati, ad esempio il rapporto fra le aree può essere calcolato come: $(\frac{"PQ"}{"RQ"})^2$.
Non ho fatto i conti, quindi chiamiamo con $\alpha$ questo rapporto, $\frac{"A(PQM)"}{"A(QRS)"}=\alpha$, allora $"A(PQM)"="A(QRS)" \cdot \alpha$ e $"A(QRS)"=\frac{"A(PQM)"}{\alpha}$
Sia $\beta$ l'area di $"PQM"$, allora $"A(RSMP)"=\beta-\frac{\beta}{\alpha}$.
Quindi il rapporto delle aree fra $"QRS"$ e $"RSMP"$ vale $\frac{\frac{\beta}{\alpha}}{\beta-\frac{\beta}{\alpha}}=\frac{\beta}{\alpha\beta-\beta}=\frac{1}{\alpha-1}$
Come vedi quindi non occorre calcolare $\beta="Area del triangolo PQM"$.
"Tipper":
Il punto $C$ quindi ha queste coordinate: $C=(x,2x)$, con $x$ (ovviamente) incognito.
La distanza $CA$ vale $\sqrt{(x+2)^2+(2x-0)^2}$, mentre la distanza $CB$ vale $\sqrt{(x-4)^2+(2x+1)^2}$.
Facendo il rapporto di queste distanze e uguagliando il tutto a $\sqrt(3)$, poi elevando al quadrato, si ottiene un'equazione di primo grado facilmente risolvibile.
Il procedimento credo proprio sia questo,solamente che non mi risulta un equazione di primo grado,ma di secondo.Risolvendo infatti il rapporto tra le distanze,e ponendolo uguale a $sqrt2$(Avevo sbagliato,è due e non tre) ottengo questa equazione $5x^2-12x-9=0$ che quindi ovviamente avrà 2 risultati.
Probabilmente però ho sbagliato i calcoli...controllerò...
Ora provo a risolvere seguendo le tue indicazioni il secondo problema.
Grazie Mille
Sì sì di secondo, pardon 
Sfruttando il teorema di Talete (considerando le proiezioni di R sui lati del rettangolo avente per diagonale PQ) le coordinate di Q possono essere differentemente calcolate:
$RQ=1/2PR=>{(x_Q=x_R+1/2(x_R-x_P)),(y_Q=y_R+1/2(y_R-y_P)):}$
Il rapporto di similitudine tra i triangoli QMP e QRS vale 2 ($RS////PM,PR=2RQ$). Il rapporto tra le aree è quindi 4. Applicando alla proporzione $PMQ:QRS=4:1$ la proprietà dello scomporre, si ottiene:
$(PMQ-QRS):QRS=(4-1):1=>PMRS:QRS=3:1=>(QRS)/(PMRS)=1/3$
$RQ=1/2PR=>{(x_Q=x_R+1/2(x_R-x_P)),(y_Q=y_R+1/2(y_R-y_P)):}$
Il rapporto di similitudine tra i triangoli QMP e QRS vale 2 ($RS////PM,PR=2RQ$). Il rapporto tra le aree è quindi 4. Applicando alla proporzione $PMQ:QRS=4:1$ la proprietà dello scomporre, si ottiene:
$(PMQ-QRS):QRS=(4-1):1=>PMRS:QRS=3:1=>(QRS)/(PMRS)=1/3$
Grazie mille!
Avrei bisogno di aiuto anche per un'altro problema..purtroppo non riesco a capire quei problemi in cui è necessaria anche una dimostrazione geometrica...
In un riferimento cartesiano ortogonale sono dati i punti P(3,6) e Q(-9.-2).Il segmento QP è la mediana di un triangolo di cui un vertice è Q.Il vertice A,situato sul semiasse positivo delle x dista 26/3 dal baricentro G.Trovare le cordinate di A e del terzo vertice B del triangolo.Verificare che QP è anche altezza del triangolo relativa ad AB.
Ancora mille grazie a chiunque sappia risolverlo...
Avrei bisogno di aiuto anche per un'altro problema..purtroppo non riesco a capire quei problemi in cui è necessaria anche una dimostrazione geometrica...
In un riferimento cartesiano ortogonale sono dati i punti P(3,6) e Q(-9.-2).Il segmento QP è la mediana di un triangolo di cui un vertice è Q.Il vertice A,situato sul semiasse positivo delle x dista 26/3 dal baricentro G.Trovare le cordinate di A e del terzo vertice B del triangolo.Verificare che QP è anche altezza del triangolo relativa ad AB.
Ancora mille grazie a chiunque sappia risolverlo...
Sapendo che il baricentro divide ogni mediana in due parti delle quali quella contenente il vertice del triangolo è il doppio dell'altra si trova:
$G(-1;10/3)$
Le coordinate del vertice A sono (x;0) per cui la distanza AG deve essere:
$AG=sqrt((x+1)^2+100/9)=26/3$
Essendo x positivo si ha perciò x= 7.
Per trovare il vertice B si deve trovare la distanza AP e l'equazione della retta AP ed impostare la condizione AP = BP....
$G(-1;10/3)$
Le coordinate del vertice A sono (x;0) per cui la distanza AG deve essere:
$AG=sqrt((x+1)^2+100/9)=26/3$
Essendo x positivo si ha perciò x= 7.
Per trovare il vertice B si deve trovare la distanza AP e l'equazione della retta AP ed impostare la condizione AP = BP....
Scusami,ma anche sapendo per trovare G devo uguagliare la distanza QG e 2 volte la distanza GP??E poi?Risolvendo infatti questa equazione viene un equazione in due incognite e per risolverla e trovare i punti mi servirebbe un'altra equazione per creare un sistema.. 
"Maddy89":
Scusami,ma anche sapendo per trovare G devo uguagliare la distanza QG e 2 volte la distanza GP??E poi?Risolvendo infatti questa equazione viene un equazione in due incognite e per risolverla e trovare i punti mi servirebbe un'altra equazione per creare un sistema..
L'altra equazione la ricavi dal fatto che il punto G appartiene alla retta PQ. Indicando con x l'ascissa del punto G la sua ordinata deve essere l'equazione della retta PQ cioè:
$y=2/3x+4$
Grazie mille!Sei la mia salvezza!!! 
Edit:Uffa sono una frana...Ultimamente ho altro per la testa più che la matematica...
Per trovare il punto B io pongo $BP^2=AP^2$ così elimino le radici.
Quindi mi viene il sistema fra
$(x-3)^2+(y-6)^2=52$
e
$y=-3/2x+21/2$
Risolvendolo però come soluzioni mi viene il punto P stesso
Sto diventando matta!!!
[Edit2]
Scusami sono una stordita..avevo dimenticato di calcolare il -52
Quindi ora è venuto!
Grazie ancora!
Edit:Uffa sono una frana...Ultimamente ho altro per la testa più che la matematica...
Per trovare il punto B io pongo $BP^2=AP^2$ così elimino le radici.
Quindi mi viene il sistema fra
$(x-3)^2+(y-6)^2=52$
e
$y=-3/2x+21/2$
Risolvendolo però come soluzioni mi viene il punto P stesso
Sto diventando matta!!!
[Edit2]
Scusami sono una stordita..avevo dimenticato di calcolare il -52
Quindi ora è venuto!
Grazie ancora!
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