[Analisi matematica] Calcolo limiti

[insule23]

salve avrei bisogno di un aiuto con questo esercizio..
Si calcoli,se esiste, il seguente limite:

[math]\lim_{x \to 0 }2^{\frac{1}{x}}log(cos x)[/math]

il professore ci ha detto di iniziare in questo modo:

[math]\lim_{x \to 0 }2^{\frac{1}{x}}log(cos x)=[/math]

[math]2^{\frac{1}{x}}\frac{log(1+(cos x -1))}{cos x -1}\frac{cosx-1}{x^{2}}x^{2}[/math]

ma non ho capito che passaggi ha fatto??? mi potete spiegare e aiutare a continuare..
grazie..

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Dunque, vogliamo calcolare

[math]\begin{aligned} \lim_{x\to 0} 2^{\frac{1}{x}}\log(\cos x) \; . \end{aligned}\\[/math]

Cominciamo sommando e sottraendo

[math]1[/math]

all'argomento del logaritmo:

[math]\begin{aligned} \lim_{x\to 0} 2^{\frac{1}{x}}\log(\cos x+1-1) \; . \end{aligned}\\[/math]

e manipoliamo leggermente tale scrittura come segue:

[math]\begin{aligned} \lim_{x\to 0} 2^{\frac{1}{x}}\log(1+\left(\cos x-1\right)) \; . \end{aligned}\\[/math]

Avendo sempre come obiettivo i limiti notevoli moltiplichiamo e dividiamo per ...

[math]\begin{aligned} \lim_{x\to 0} 2^{\frac{1}{x}}\frac{\log(1+\left(\cos x-1\right))}{\cos x-1}\left(\cos x-1\right) \end{aligned}\\[/math]

e in maniera del tutto simile moltiplichiamo e dividiamo per ...

[math]\begin{aligned} \lim_{x\to 0} 2^{\frac{1}{x}}\frac{\log(1+\left(\cos x-1\right))}{\cos x-1}\frac{\cos x-1}{x^2}x^2 \end{aligned} \; .\\[/math]

Mio ulteriore suggerimento è quest'altro passaggio:

[math]\begin{aligned}\lim_{x\to 0}x^2\,2^{\frac{1}{x}}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+\left(\cos x-1\right))}{\cos x-1}\cdot\lim_{x\to 0}-\frac{1-\cos x}{x^2} \; .\end{aligned}\\[/math]

Ora credo sia proprio il caso che tu ci metta un po' del tuo ;)

[insule23]

ok...
quindi abbiamo che:

[math]\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+\left(\cos x-1\right))}{\cos x-1}[/math]

sostituendo

[math]y=\left(\cos x-1\right)[/math]

ottengo

[math]\lim_{y\to 0}\frac{\log(1+y)}{y}[/math]

[math]=[/math]

[math]1[/math]

si ha anche:

[math]\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x^2}[/math]

[math]=[/math]

[math]-\frac{1}{2} [/math]

è giusto???
ed ora come continuo.. se mi puoi aiutare..
grazie..

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Siamo praticamente al traguardo!! Infatti, abbiamo trovato che

[math]\begin{aligned} \lim_{x\to 0} 2^{\frac{1}{x}}\log(\cos x) = -\frac{1}{2}\lim_{x\to 0} x^2\,2^{\frac{1}{x}} \; . \end{aligned}\\[/math]

Non rimane da capire che succede per

[math]x\to 0^-[/math]

e

[math]x\to 0^+[/math]

e trarre finalmente una conclusione. ;)

[insule23]

allora abbiamo che:

[math]\lim_{x\to 0^{-} }2^{\frac{1}{x}}[/math]

[math]\lim_{x\to 0^{-} }2^{\lim_{n \to 0^{-}}(\frac{1}{x})}[/math]

[math]=[/math]

[math]2^{-\infty }[/math]

[math]=[/math]

[math]\frac{1}{2}^{\infty }[/math]

[math]=[/math]

[math]0[/math]

quindi

[math]\lim_{x\to 0^-} x^2\,2^{\frac{1}{x}}=0\cdot \infty =0[/math]

mentre

[math]\lim_{x\to 0^+} x^2\,2^{\frac{1}{x}}[/math]

abbiamo una forma indeterminata del tipo

[math]0\cdot \infty [/math]

come la risolvo??.. se mi potete aiutare..
il limite da sinistra è giusto..
attendo vostra risposta..
grazie..

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Ricordando che gli esponenziali corrono al proprio
limite più celermente delle potenze, si ha

[math]\begin{aligned}-\frac{1}{2}\lim_{x\to 0^-}x^2\,2^{\frac{1}{x}}=-\frac{1}{2}\cdot 0 = 0 \; ;\end{aligned}\\[/math]

[math]\begin{aligned}-\frac{1}{2}\lim_{x\to 0^+}x^2\,2^{\frac{1}{x}}=-\frac{1}{2}\cdot (+\infty) = -\infty \; ;\end{aligned}\\[/math]

quindi, per il teorema di unicità del limite, segue che

[math]\begin{aligned} - \frac{1}{2}\lim_{x\to 0}x^2\,2^{\frac{1}{x}} \Rightarrow \not\exists \; .\end{aligned}\\[/math]

Saluti ;)

[insule23]

Scusa ancora ma ho da farti una domanda..
Innanzi tutto vorrei capire che
cosa intendi che gli esponenziali
corrono più celermente delle
potente...
Inoltre come hai fatto a calcolartu
i limiti da sinistra e da destra..
Spero che tu mi possa aiutare
a risolvere questi dubbi..
Grazie..

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Quando si presentano le famose forme indeterminate in sostanza significa che in quei casi nulla può dirsi in generale: alle volte portano ad un risultato, altre volte ad un altro. Dunque, l'unico modo per sbrogliarle è quello di ingegnarsi di volta in volta nel trovare la strada opportuna per venirne a capo.

Nei casi sopra scritti, la strada più semplice (perlomeno per come la vedo io) è quella di ragionare sulle cosiddette gerarchie degli infiniti, che in parole più semplici significa indagare sulla rapidità a cui le varie funzioni tendono a quel valore limite. Nello specifico abbiamo un funzione esponenziale ed una funzione polinomiale. E' sufficiente confrontare, ad esempio, i loro grafici per convincersi del fatto che l'esponenziale è una funzione decisamente più rapida rispetto a quella polinomiale e quindi al limite quest'ultima la si può trascurare. A quel punto la risoluzione del limite è banale.