Analisi matematica
L'intervallo [3,7] quanti numeri reali contiene?
Risposte
infiniti....postulato di continuità: tra due punti della retta c'è sempre un altro punto....corrispondenza biunivoca punti della retta numeri reali....conseguenza: tra due numeri reali ce n'è sempre un altro....in un intervallo di numeri reali ce ne sono infiniti....almeno credo (prego i matematici titolati del forum di correggere ogni mia minc***ta)
"WiZaRd":
... tra due numeri reali ce n'è sempre un altro...
Più che altro ce ne sono infiniti.
giusto...
attento al postulato di continuità! Anche fra due numeri razionali ce ne sono sempre infiniti, ma i razionali non sono
continui!!!
continui!!!
per uber....quindi: dove ho sbagliato?
hai sbagliato a dire che quello è il postulato di continuità. Non è quello, ma quest'altro
Comunque si scelgano due insiemi $A,B\subsetRR$ tali che $a\leb,\forall a\in A,b\inB$ allora
esiste $c\inRR$ tale che $a\lec\leb,\forall a\inA,b\in B$.
Questo postulato è verificano per definizione da $RR$ (in realtà si giustifica questa assunzione
anche a un livello più profondo - resta comunque un assioma), ma non è verificato da $QQ$.
Infatti, prendi i due insiemi $A={x\inQQ:x^2<2}$ e $B={x\inQQ:x>0,x^2>2}$ ...
Comunque si scelgano due insiemi $A,B\subsetRR$ tali che $a\leb,\forall a\in A,b\inB$ allora
esiste $c\inRR$ tale che $a\lec\leb,\forall a\inA,b\in B$.
Questo postulato è verificano per definizione da $RR$ (in realtà si giustifica questa assunzione
anche a un livello più profondo - resta comunque un assioma), ma non è verificato da $QQ$.
Infatti, prendi i due insiemi $A={x\inQQ:x^2<2}$ e $B={x\inQQ:x>0,x^2>2}$ ...
per uber...hai ragione perdona la mia inesattezza...intendevo dire che tra punti della retta e numeri reali c'è corrispondenza biunivoca (dopo che si è fissata una opportuna unità di misura) e poichè tra due punti della retta ce ne è sempre un altro i punti della retta sono infiniti e data la corrispondenza biunivoca di cui sopra allora anche i reali sono infiniti...questo è il modo in cui il prof lo ha spiegato a noi alunni (ancora) di liceo...spero che vada bene da un punto di vista logico
ciao
ciao
non credo vada molto bene dal punto di vista logico. Infatti, la domanda che sorge spontanea è:
perchè i numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti della retta?
questa è una domanda molto meno scema di quello che pensi... ti invito a rifletterci un momento..
poi ne riparliamo, se vuoi.
Comunque fortunatamente questi problemi si possono evitare: l'infinità dei numeri reali si può dim
abbastanza tranquillamente senza la continuità. (fatti una ricerca sul procedimento di diagonalizzazione
di Cantor e scoprirai come!)
perchè i numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti della retta?
questa è una domanda molto meno scema di quello che pensi... ti invito a rifletterci un momento..
poi ne riparliamo, se vuoi.
Comunque fortunatamente questi problemi si possono evitare: l'infinità dei numeri reali si può dim
abbastanza tranquillamente senza la continuità. (fatti una ricerca sul procedimento di diagonalizzazione
di Cantor e scoprirai come!)
per uber...sono molto interessto a quanto hai detto....ma non avendo molto tempo dato che dovrei preparare gli esami distato (mi scoccio, farei solo la prova di mate - è molto più divertente) ho dato solo una rapida occhiata alla diagonalizzazione di Cantor (da un articolo di divulgazione scientifica trovato su internet) e da quello che ho capito tramite il procedimento di Cantor si dimostra che i reali non sono numerabili - non sono in corrispondenza biunivoca coi naturali - (e, quindi, concludo io, sono infiniti) e con l'assioma di dedekind (che poi in questo articolo dice che anche l'assioma potrebbe essere dimostrato ma il procedimento è molto complesso) si dimostra che sono continui mentre i razionali non sono continui...spero di aver capito bene....quanto al perchè della corrispondenza biunivoca...beh, che dire: bella domanda...direi che c'è corrispondenza biunivoca perchè se si fissa una unità di misura, un verso e un'origine O sulla retta allora il numero reale che corrisponde a un certo punto A della retta è la sua misura (eventualmente con segno se A è alla sinistra di O) rispetto alla prefissata unità...questa corrispondenza punti-misura-numeri è data dal fatto che anche per le grandezze geometriche si può parlare di classi contigue e queste ammettono un unico elemento di separazione: questo elemento di separazione è la grandezza $A=\alphaB$ multipla di $B$ secondo $\alpha$: $\alpha$ è la misura di $A$ rispetto a $B$, è razionale se $A$ e $B$ sono commensurabili, irrazionale se sono incommensurabili ed è unica essendo unico l'elemento di separazione....almeno credo
Mi fa piacere il tuo interesse... e spero che prenderai matematica il prossimo anno
1)
la diagonalizzazione di Cantor dimostra di più dell'infinità di $RR$: dimostra che è una classe di infinito superiore a quella dei numeri naturali. (Anche i naturali sono infiniti, ma i reali sono ancora di più! Osserva che questo non è un fatto banale, in quanto i razionali, anche se sembrano molti di più dei naturali, in realtà hanno lo stesso tipo di infinito (questo è un'ulteriore applicazione della diagonalizzazione)).
2) l'assioma di Dedekind può essere dimostrato sì... ma utilizzando altri assiomi... quello che avevo detto qualche post fa si riferiva proprio a questo: la continuità si giustifica (=si dimostra) ad un livello più profondo, ma appunto usando altri assiomi... si tratta quindi di giustificazioni sempre più sottili, ma non di vere e proprie dimostrazioni.
NON RIUSCIAMO A DIMOSTRARE NEANCHE CHE ESISTONO I NUMERI NATURALI, PENSA SE RIUSCIAMO A DIMOSTRARE L'ESISTENZA DI $RR$... SI PRENDE PER ASSIOMA
3) il problema della bijezione fra $RR$ e la retta è molto più incasinata di quanto puoi immaginare. Ti faccio la seguente domanda: come fai a fissare una misura su $RR$?
1)
la diagonalizzazione di Cantor dimostra di più dell'infinità di $RR$: dimostra che è una classe di infinito superiore a quella dei numeri naturali. (Anche i naturali sono infiniti, ma i reali sono ancora di più! Osserva che questo non è un fatto banale, in quanto i razionali, anche se sembrano molti di più dei naturali, in realtà hanno lo stesso tipo di infinito (questo è un'ulteriore applicazione della diagonalizzazione)).
2) l'assioma di Dedekind può essere dimostrato sì... ma utilizzando altri assiomi... quello che avevo detto qualche post fa si riferiva proprio a questo: la continuità si giustifica (=si dimostra) ad un livello più profondo, ma appunto usando altri assiomi... si tratta quindi di giustificazioni sempre più sottili, ma non di vere e proprie dimostrazioni.
NON RIUSCIAMO A DIMOSTRARE NEANCHE CHE ESISTONO I NUMERI NATURALI, PENSA SE RIUSCIAMO A DIMOSTRARE L'ESISTENZA DI $RR$... SI PRENDE PER ASSIOMA
3) il problema della bijezione fra $RR$ e la retta è molto più incasinata di quanto puoi immaginare. Ti faccio la seguente domanda: come fai a fissare una misura su $RR$?
per uber...l'anno prossimo prendo matematica....mi piace anche se alle volte mi incasino ma mi auguro che trovando qualcuno bravo e con molta pazienza di riuscire a cavarne qualche cosina 
quanto a cantor: quindi dimostra sia che $\mathbb{R}$ ha infiniti numeri sia che se uno si mettesse a contarli ne troverebbe di più che in $\mathbb{N}$...giusto?
quanto all'ultima domanda...non so come rispondere....penso che questi siano problemi di teoria della misura...però la cosa mi piace...caso mai dopo gli esami apro un topic e ne parliamo con più calma....mi farebbe piacere
ciao
quanto a cantor: quindi dimostra sia che $\mathbb{R}$ ha infiniti numeri sia che se uno si mettesse a contarli ne troverebbe di più che in $\mathbb{N}$...giusto?
quanto all'ultima domanda...non so come rispondere....penso che questi siano problemi di teoria della misura...però la cosa mi piace...caso mai dopo gli esami apro un topic e ne parliamo con più calma....mi farebbe piacere
ciao
"ubermensch":
NON RIUSCIAMO A DIMOSTRARE NEANCHE CHE ESISTONO I NUMERI NATURALI, PENSA SE RIUSCIAMO A DIMOSTRARE L'ESISTENZA DI $RR$... SI PRENDE PER ASSIOMA
Mah!
per sandokan: perchè storci il naso all'affermazione di uber?
"WiZaRd":
per sandokan: perchè storci il naso all'affermazione di uber?
Perche' non e' un'affermazione corretta.
ok...non faccio domande perchè le mie competenze sono limitatissime e ogni discorso con me non sarebbe completo, lascio la diatriba a voi due...che è cosa buona, giusta e saggia
"WiZaRd":
ok...non faccio domande perchè le mie competenze sono limitatissime e ogni discorso con me non sarebbe completo, lascio la diatriba a voi due...che è cosa buona, giusta e saggia
Ma figurati, io qui sono il primo ignorante!
Solo che quanto dice ubermensch non e' affatto corretto, perche' se e' vero che si puo' benissimo prendere l'esistenza di $RR$ come assioma (e lo si fa ordinariamente) non e' vero che questa esistenza non si possa dimostrare (beninteso a patto di partire da assiomi, ma si tratta di assiomi di natura molto piu' generale).
Ti riferisci ad AC?
"TomSawyer":
Ti riferisci ad AC?
No, mi riferisco agli ordinari assiomi della teoria degli insiemi.
Mi pare un pò strano che si possa dimostrare l'esistenza di $RR$ senza che si possa farlo per $NN$...
e mi pare che su quest'ultima cosa non ci siano dubbi (Assioma dell'Infinito)... Che poi andando sempre
più a profondo qualcosa si possa dire è fuor di dubbio, ma mi pare che avevo lasciato perlomeno intendere
qualcosa del genere.
e mi pare che su quest'ultima cosa non ci siano dubbi (Assioma dell'Infinito)... Che poi andando sempre
più a profondo qualcosa si possa dire è fuor di dubbio, ma mi pare che avevo lasciato perlomeno intendere
qualcosa del genere.
@Wizard
ma sei di Roma?
comunque non è un problema di teoria della misura.. il problema è che come viene definita comunemente la misura usa
implicitamente il fatto che i punti della retta siano in bijezione con $RR$ ... per cui non puoi dimostrare usando la misura che esiste quella bijezione...
ma sei di Roma?
comunque non è un problema di teoria della misura.. il problema è che come viene definita comunemente la misura usa
implicitamente il fatto che i punti della retta siano in bijezione con $RR$ ... per cui non puoi dimostrare usando la misura che esiste quella bijezione...
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