Analisi- limiti & numeri complessi
ehilà da un futuro (si spera) ingegnIere elettronico.
dunque ho alcuni dubbi su un limite che non sembra eccessivamente tosto ma non esce
lim x--> -infinito di (x-2)*e^x
e un altro:
sui numeri complessi invece non so come si faccian questa tipologia di esercizi..
calcolare i seguenti numeri complessi:
z^6 -2z^3 + 1 =0
(z^5 + i)*(z^2 -1 + i)=0
z^3 -2z^2 + z - 2 = 0
grazie mille a chi vorra' aiutarmi[:)]
dunque ho alcuni dubbi su un limite che non sembra eccessivamente tosto ma non esce
lim x--> -infinito di (x-2)*e^x
e un altro:
lim x--> + inf di
[radicequadrata(x^2 + 10x + 2) ]/ 4x^2 +2x+1 TUTTO MOLTIPLICATO PER
log(x^4 +e^x -2arctang3x)
la radice quadrata è solo al numeratore.... il logaritmo è a numeratore.... solo 4x^2 + 2x+1 è a denominatore.
sarei grato se mi spiegate un pò il procedimento[:)]
sui numeri complessi invece non so come si faccian questa tipologia di esercizi..
calcolare i seguenti numeri complessi:
z^6 -2z^3 + 1 =0
(z^5 + i)*(z^2 -1 + i)=0
z^3 -2z^2 + z - 2 = 0
grazie mille a chi vorra' aiutarmi[:)]
Risposte
Per il primo limite, riscrivi la funzione così: (x - 2)/e^(-x)
e poi applica il teorema di De L'Hopital. Derivando numeratore
e denominatore ottieni la frazione: 1/(- 1/e^x) = - e^x
che tende a zero quando x tende a -00.
Il risultato del primo limite è dunque zero.
e poi applica il teorema di De L'Hopital. Derivando numeratore
e denominatore ottieni la frazione: 1/(- 1/e^x) = - e^x
che tende a zero quando x tende a -00.
Il risultato del primo limite è dunque zero.
grazie.. sì che stupido O_O
cmq doveva postare nella sezione Università.. ho sbagliato
cmq doveva postare nella sezione Università.. ho sbagliato
Equazioni nel campo complesso :
la terza equazione puoi modificarla così :
(z-2)*z^2+(z-2) = (z-2)*(z^2+1) =0
da cui : z=2 prima soluzione
z^2+1 =0 da cui : z^2 = -1 e quindi z = +i, -i che sono le altre due soluzioni.
Quindi : z=2, z=i , z= -i.
La prima equazione la puoi risolvere ponendo : z^3 = t da cui :
t^2-2t+1= 0 che risolta dà :
(t-1)^2 = 0 da cui t=1 radice doppia e quindi :
z^3 = 1 [questa si risolve con le formule della radice ennesima dell'unità, guarda sul libro] oppure osservando che : z^3-1=0 si può scomporre in (z-1)*(z^2+z+1)= 0.
Le radici sono dunque : z=1
z=(-1+-sqrt(1-4))/2 = (-1+-i*sqrt(3))/2.
La seconda equazione : risolvi separatamente le due equazioni :
z^5+1=0, cioè : z^5 = -1 ; esprimi -1 in forma trigonometrica :
cos(pi)+i*sen(pi) e allora le radici quinte di -1 sono :
[ cos(pi/5+(2kpi/5)]+isen[(pi/5+(2kpi/5)] con k =0,1,2,3,4.
va poi risolta : z^2-1+i =0 che diventa :z^2=1-i; adesso esprimi : 1-i in forma trigonometrica :sqrt(2)*[cos(7pi/4)+i sen(7pi/4)] e applica ancora le formule per il calcolo della radice quadrata del numero sqrt(2)*[cos(7pi/4)+i sen(7pi/4)] ; si avrà : (radice quarta di 2)*[cos(7pi/8+2kpi/8)+i sen(7pi/8+2kpi/8)] con k=0,1.
Devi guardare sul testo come si risolvono le equazioni nel campo complesso.
Spero di non avere fatto errori di calcolo.
Camillo
la terza equazione puoi modificarla così :
(z-2)*z^2+(z-2) = (z-2)*(z^2+1) =0
da cui : z=2 prima soluzione
z^2+1 =0 da cui : z^2 = -1 e quindi z = +i, -i che sono le altre due soluzioni.
Quindi : z=2, z=i , z= -i.
La prima equazione la puoi risolvere ponendo : z^3 = t da cui :
t^2-2t+1= 0 che risolta dà :
(t-1)^2 = 0 da cui t=1 radice doppia e quindi :
z^3 = 1 [questa si risolve con le formule della radice ennesima dell'unità, guarda sul libro] oppure osservando che : z^3-1=0 si può scomporre in (z-1)*(z^2+z+1)= 0.
Le radici sono dunque : z=1
z=(-1+-sqrt(1-4))/2 = (-1+-i*sqrt(3))/2.
La seconda equazione : risolvi separatamente le due equazioni :
z^5+1=0, cioè : z^5 = -1 ; esprimi -1 in forma trigonometrica :
cos(pi)+i*sen(pi) e allora le radici quinte di -1 sono :
[ cos(pi/5+(2kpi/5)]+isen[(pi/5+(2kpi/5)] con k =0,1,2,3,4.
va poi risolta : z^2-1+i =0 che diventa :z^2=1-i; adesso esprimi : 1-i in forma trigonometrica :sqrt(2)*[cos(7pi/4)+i sen(7pi/4)] e applica ancora le formule per il calcolo della radice quadrata del numero sqrt(2)*[cos(7pi/4)+i sen(7pi/4)] ; si avrà : (radice quarta di 2)*[cos(7pi/8+2kpi/8)+i sen(7pi/8+2kpi/8)] con k=0,1.
Devi guardare sul testo come si risolvono le equazioni nel campo complesso.
Spero di non avere fatto errori di calcolo.
Camillo
grazie camillo.
cmq questo limite
lim x--> + inf di
[radicequadrata(x^2 + 10x + 2) ]/ 4x^2 +2x+1 TUTTO MOLTIPLICATO PER
log(x^4 +e^x -2arctang3x)
io ragionerei, un pò ''maccheronicamente'' sugli infiniti... cioè nel log l'esponenziale è + forte quindi ottengo
lim x--> + inf di
[radicequadrata(x^2 + 10x + 2) ]/ 4x^2 +2x+1 TUTTO MOLTIPLICATO PER
log(e^x)
ora log(e^x) = x
quindi
lim x--> + inf di
[radicequadrata(x^2 + 10x + 2) ]/ 4x^2 +2x+1 TUTTO MOLTIPLICATO PER
*x
con banali conti, la potenza a numeratore è
(x^2)^1/2 * x= x^2
a denominatore ho 4x^2
quindi per il rapporto di infiniti il limite da' 1/4.
Qualche procedimento + elegante?
p.s il mio è lecito vero?
cmq questo limite
lim x--> + inf di
[radicequadrata(x^2 + 10x + 2) ]/ 4x^2 +2x+1 TUTTO MOLTIPLICATO PER
log(x^4 +e^x -2arctang3x)
io ragionerei, un pò ''maccheronicamente'' sugli infiniti... cioè nel log l'esponenziale è + forte quindi ottengo
lim x--> + inf di
[radicequadrata(x^2 + 10x + 2) ]/ 4x^2 +2x+1 TUTTO MOLTIPLICATO PER
log(e^x)
ora log(e^x) = x
quindi
lim x--> + inf di
[radicequadrata(x^2 + 10x + 2) ]/ 4x^2 +2x+1 TUTTO MOLTIPLICATO PER
*x
con banali conti, la potenza a numeratore è
(x^2)^1/2 * x= x^2
a denominatore ho 4x^2
quindi per il rapporto di infiniti il limite da' 1/4.
Qualche procedimento + elegante?
p.s il mio è lecito vero?
Il risultato è giusto, l'ho verificato con il programma Derive.
Però dovevi scrivere meglio il testo: non si capiva
bene cosa fosse quell'arcotangente... Solo dopo un po'
di tempo ho capito che era 2*arctg(3)*x invece di 2*arctg(3x)...
Però dovevi scrivere meglio il testo: non si capiva
bene cosa fosse quell'arcotangente... Solo dopo un po'
di tempo ho capito che era 2*arctg(3)*x invece di 2*arctg(3x)...
ehm fire, sto anch'io usando derive 6, cmq mettendo l'espressione, nella casella limite per indicare il limite per x--> -infinito come si mette? perchè a me quel limite mi da come risultato un ?
Propongo la dimostrazione della disug triangolare:
|x + y| <= |x| + |y|
ciao
Propongo la dimostrazione della disug triangolare:
|x + y| <= |x| + |y|
ciao
Devi scrivere -inf per meno infinito e +inf per più infinito.
Il risultato del limite è 1/4 se quell'arcotangente è: 2*arctg(3)*x
Se invece fosse 2*arctg(3x) chiaramente sarebbe tutta un'altra cosa.
Il risultato del limite è 1/4 se quell'arcotangente è: 2*arctg(3)*x
Se invece fosse 2*arctg(3x) chiaramente sarebbe tutta un'altra cosa.
z^4=9 come si risolve in campo complesso? scusate, sto fuso...
Vuol dire trovare le radici quarte di 9 che, nel campo complesso sono quattro.
Converti 9 in forma trigonometrica :9*(cos0+isen0)
adesso le quattro radici si ottengono così :
il modulo vale
radquartadi9)= sqrt(3)
cos(2kpi/4)+isen(2kpi/4)= cos(k pi/2)+i sen(k pi/2) e k assume i valori 0,1,2,3.
la soluzione è : sqrt(3)*[cos(k pi/2)+i sen(k pi/2)]che non è difficile da calcolare e sono : sqrt(3), sqrt(3)*i,
-sqrt(3)*i,-sqrt(3).
Camillo
Converti 9 in forma trigonometrica :9*(cos0+isen0)
adesso le quattro radici si ottengono così :
il modulo vale
radquartadi9)= sqrt(3)cos(2kpi/4)+isen(2kpi/4)= cos(k pi/2)+i sen(k pi/2) e k assume i valori 0,1,2,3.
la soluzione è : sqrt(3)*[cos(k pi/2)+i sen(k pi/2)]che non è difficile da calcolare e sono : sqrt(3), sqrt(3)*i,
-sqrt(3)*i,-sqrt(3).
Camillo
In realtà l'equazione : z^4 = 9 si può risolvere in modo più semplice :
z^4-9=0
scomponendo : (z^2-3)(z^2+3)=0 e quindi :
z^2-3 = 0 che dà le soluzioni : z=sqrt(3), z=-sqrt(3).
z^2+3 =0 che dà le soluzioni : z= i*sqrt(3) , z=-i*sqrt(3).
Camillo
z^4-9=0
scomponendo : (z^2-3)(z^2+3)=0 e quindi :
z^2-3 = 0 che dà le soluzioni : z=sqrt(3), z=-sqrt(3).
z^2+3 =0 che dà le soluzioni : z= i*sqrt(3) , z=-i*sqrt(3).
Camillo
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